第4讲：极点极线结构及非对称韦达定理-备战2022高考数学之解析几何讲义.docxVIP免费

第4讲：极点极线结构及非对称韦达定理1.基础知识:极点极线椭圆极点和极线的定义与作图：已知椭圆C:x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），则称点P(x0,y0)和直线x0xa2+y0yb2=1为椭圆的一对极点和极线.极点和极线是成对出现的.从定义我们共同思考和讨论几个问题并写下你的思考:（1）若点P(x0,y0)在椭圆上，则其对应的极线是什么?（2）椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么?（3）过椭圆外（上、内）任意一点P(x0,y0)，如何作出相应的极线？如图，若点P在曲线Γ外，过点P作两条割线依次交曲线Γ于E,F,G,H且EH与FG交于N，延长FH,EG交于点M,则直线MN即为点P所对应的极线.假设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)（1）焦点与准线：(c,0)点与直线x=a2c；（2）点(m,0)与直线x=a2m2.非对称韦达定理在一元二次方程中，若，设它的两个根分别为，则有根与系数关系：，，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理、、之类的“对称结构”，但有时，我们会遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求、之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了.特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x或y，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，可采用反过来应用韦达定理，会有较好的作用.3.典例（2020一卷）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.解析：由椭圆方程可得：，，，，椭圆方程为：（2）证明：设，则直线的方程为：，即：联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：，解得：或将代入直线可得：所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为当时，直线的方程为：，整理可得：整理得：所以直线过定点．当时，直线：，直线过点．故直线CD过定点．4.练习：（2010江苏）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆15922yx的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T（mt,）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M),(11yx、),(22yxN，其中m>0,0,021yy.（1）设动点P满足422PBPF,求点P的轨迹；（2）设31,221xx，求点T的坐标；（3）设9t,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由422PBPF，得2222(2)[(3)]4,xyxy化简得92x。故所求点P的轨迹为直线92x（2）将31,221xx分别代入椭圆方程，以及0,021yy得：M（2，53）、N（13，209...