2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）第9章复数9.3实系数一元二次方程在初中课程中已学过了实系数一元二次方程，它具有标准形式９．３实系数一元二次方程我们已经知道可用判别式来判定这个方程实根的存在性．具体地说，在实数范围内考虑：（１）当Δ＞０时，该方程有两个不相等的实根（２）当Δ＝０时，该方程有两个相等的实根（二重根）（３）当Δ＜０时，该方程没有实根我们现在再来讨论实系数一元二次方程的求根问题，但将根的取值范围从实数拓广到复数．也就是说，我们不仅要讨论实根，还要讨论虚根．我们要解决的问题实际上有两个：（Ａ）当Δ≥０时，除了已经找到的实根外，方程在复数范围还有其他的根吗？（Ｂ）当Δ＜０时，方程在复数范围有根吗？怎样求出它的根？回答这两个问题，关键是对Δ（它是一个实数）在复数范围的平方根问题有个准确的把握．1实数的平方根设c∈R，并设是它的一个平方根，即将上式左边展开，得到再根据复数相等的条件，就得到从第二个等式可知，a与b中至少有一个为零．当c≥０时，必须b＝０，否则a＝０，从而推出，与假设矛盾．于是必是c的一个实平方根．这说明，除了已知的实平方根非负实数犮在复数范围没有其他的平方根．而当c＜０时，必须a＝０，否则b＝０，从而推出与假设矛盾．于是，，从而此时犮的平方根有两个：它们是两个共轭的纯虚数．例１在复数范围求25与－25的平方根．解因为25＞０，它在复数范围的平方根与实数范围的平方根是一样的，都是±５；因为－２５＜０，它没有实平方根，而在复数范围其平方根是２实系数一元二次方程我们现在在复数范围求解实系数一元二次方程．用配方法，得到这就是说，是实数Δ的平方根．由前面关于实数平方根的讨论，就可以回答本节引言中所提的两个问题了，其答案是：在复数范围内，（１）当Δ＞０时，方程有两个不相等的实根（２）当Δ＝０时，方程有两个相等的实根（二重根）（３）当Δ＜０时，方程有一对共轭虚根例２在复数范围内解方程：解该方程的判别式Δ＝（－４）２－４×２×５＝－２４＜０，所以此方程有一对共轭虚根如果实系数一元二次方程有实根与，由必修课程第２章已经知道这两个根与方程的系数有如下关系（韦达定理）：实系数一元二次方程的根与系数的关系在虚根的情况下仍然成立，这只要直接把根代入验证就可以了．例３如果p、q都是实数，而关于x的方程p＝０有一个根，求p、q的值．解方程有一个虚根－２＋３ｉ，则它的另一个根必为...
