1/118.1向量的数量积8.1.1向量数量积的概念学习目标核心素养1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(难点)2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系．(重点)3．会运用数量积表示两个向量的夹角，会运用数量积判断两个平面向量的垂直．(重点，难点)1.通过物理学中力对物体做功引出向量的数量积概念，培养学生数学抽象的素养．2．利用向量的投影领会向量的数量积的几何意义，提高学生几何直观的数学素养.水上飞机是用绳索拉着人进行的水上运动，会让人感觉自己在水上漂动，异常轻松刺激．要用物理原理来分析的话，这说明飞机的拉力对人做了功．这种现象在现实生活中还有很多，在数学中两个向量也有类似的运算应用．那么它们遵循什么规律呢？请看本节学习的内容．问题(1)功与向量的数量积有什么联系？(2)数量积的几何意义是什么？提示(1)物理上力做功实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．(2)两个非零向量a与b的数量积，等于向量a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|·cosθ的乘积．1．两个向量的夹角2/11给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作OA＝a，OB＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．(1)两个向量夹角的取值范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉．(2)当〈a，b〉＝时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b．规定：零向量与任意向量垂直．思考：在△ABC中，向量AB与向量BC的夹角是角B吗？为什么？[提示]不是．向量AB与向量BC的夹角是角B的补角．2．向量数量积一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．(1)当〈a，b〉∈时，a·b>0;当〈a，b〉＝时，a·b＝0；当〈a，b〉∈时，a·b<0.(2)两个非零向量a，b的数量积的性质：不等式|a·b|≤|a||b|恒等式a·a＝a2＝|a|2，即|a|＝向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0思考：(1)向量的数量积a·b与向量加法、减法和数乘的区别是什么？(2)根据向量数量积的定义，如何求两个非零向量a与b的夹角？(3)|a·b|≤|a||b|中等号何时成立？[提示](1)向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；向量加法、减法和数乘仍是向量，既有大小又有方向．(2)先求cos〈a，b〉＝，再根据余弦值求〈a，b〉．(3)当a与b共线时，等号成立．3．向量的投影与向量数量积的几何意义(1)作法：设非零向量AB＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′.(2)结论：称向量A...
