向量的数量积一、选择题1．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b2．在△ABC中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，则BC·CA＝()A．20B．－20C．20D．－203．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝，则a与b的夹角θ为()A.B.C.D.4．[2019·全国卷Ⅰ]已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.B.C.D.二、填空题5．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝1，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________．6．已知|a|＝4，e为单位向量，a在e方向上的投影为－2，则a与e的夹角为________．7．已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．三、解答题8．已知|a|＝4，|b|＝2.(1)若a与b的夹角为120°，求|3a－4b|；(2)若|a＋b|＝2，求a与b的夹角θ.9．已知a·b＝20，|a|＝5，求b在a方向上的正射影的数量．10．若△ABC外接圆的半径为1，圆心为O,2OA＋AB＋AC＝0且|OA|＝|AB|，则CA·CB等于________．向量的数量积1．解析：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，∴a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，∴a·b＝0.即a⊥b.答案：B2．解析：BC·CA＝|BC||CA|cos120°＝5×8×＝－20.答案：B3．解析：∵|2a＋b|2＝4＋9＋4a·b＝7，∴a·b＝－，∴cosθ＝＝－.又θ∈[0，π]，∴θ＝.答案：B4．解析：设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cosα＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cosα＝，∵α∈[0，π]，∴α＝.故选B.答案：B5．解析：∵(3a＋2b)⊥(λa－b)，∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0，∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.又∵|a|＝2，|b|＝1，a⊥b，∴12λ＋(2λ－3)×2×1×cos90°－2＝0，∴12λ－2＝0，∴λ＝.答案：6．解析：因为a在e方向上的投影为－2，即|a|cos〈a，e〉＝－2，所以cos〈a，e〉＝＝－，又〈a，e〉∈[0，π]，所以〈a，e〉＝120°.答案：120°7．解析：由题意cos〈a，b〉＝>0，即1－2λ>0，得λ<.∵a，b不能共线，即a≠b，∴λ≠－2.∴λ∈(－∞，－2)∪.答案：(－∞，－2)∪8．解析：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝4×2×＝－4.又|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304，∴|3a－4b|＝4.(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝42＋2a·b＋22＝(2)2，∴a·b＝－4，∴cosθ＝＝＝－.又θ∈[0，π]，∴θ＝.9．解析：设a，b的夹角为θ，则b在a方向上的正射影的数量就是|b|cosθ，因为|a||b|cosθ＝a·b＝20，所以|b|cosθ＝＝＝4，即b在a方向上的正射影的数量是4.10．解析：∵2OA＋AB＋AC＝0，∴OA＋AB＋OA＋AC＝0，∴OB＋OC＝0，即OB＝－OC.∴O，B，C共线，BC为圆的直径．∴AB⊥AC.又|OA|＝|AB|，∴|OA|＝|AB|＝1，|BC|＝2，|AC|＝.故∠ACB＝.则CA·CB＝×2cos＝3.答案：3
