2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）第7章三角函数7.1正弦函数的性质（第3课时）由于正弦函数是周期函数，因此研究它的最值和单调性等性质时，都可以在长度为一个周期的区间上进行．（２）值域与最值设角x的终边与以原点为圆心的单位圆交于点P（图７-１-６），点P的坐标为（u，v）．由正弦的定义，ｓｉｎx＝v，于是有｜ｓｉｎx＝｜v≤｜１．因此，正弦函数y＝ｓｉｎx，x∈R的值域为［－１，１］，其最大值为１，最小值为－１．考虑到正弦函数y＝ｓｉｎx的最小正周期为２π，因此只需选择一个长度为２π的合适的区间来研究其最大值与最小值．取此区间为［０，２π）．在［０，２π）上，当且仅当y=sinx取得最小值－１最大值１；当且仅当由于正弦函数y＝ｓｉｎx，x∈R的最小正周期是２π，因此当且仅当y＝ｓｉｎx取得最大值１；当且仅当k∈Z时，y＝ｓｉｎx取得最小值－１．例５求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时所有x的值因为y＝ｓｉｎu，u∈R的最大值是１，最小值是－１，所以y＝－２ｓｉｎu，u∈R的最大值是２，最小值是－２由x∈R，得u能取遍所有实数，而y的最小值是－２，此时于是，y的最大值是２，此时而狔的最小值是≤因为－２２ｓｉｎ所以y的最大值是４，此时在现实生活中，我们常常会碰到合理下料、最优设计等方面的问题，通过建立三角函数模型求最值是其中一种解决问题的方法．例６如图７-１-７，在一个半径为r的半圆形铁板中，截取一块矩形ABCD，使得矩形的顶点A、B在半圆的直径上，C、D在半圆弧上．问：如何截取矩形ABCD，使其面积达到最大值？并求出这个最大值矩形ABCD的面积y有最大值由此可知，当且仅当因此，在半圆形铁板中应截取AB＝这时矩形ABCD的面积达到最大值课本练习练习７．１（３）１．求下列函数的定义域和值域：２．求下列函数的最大值与最小值：３．如图，矩形ABCD的四个顶点分别在矩形A１B１C１D１的四条边上，AB＝a，BC＝b．如果AB与A１B１的夹角为α，那么当α取何值时，矩形A１B１C１D１的周长最大？随堂检测1、已知M和m分别是函数y＝的最大值和最小值，则M＋m等于（）【答案】D；2、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）函数y＝asinx(a≠0)的最大值为a，最小值为－a；（）×THANKS“”
