2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）第7章三角函数7.1正弦函数的性质（第2课时）根据正弦函数的定义及图像，可以得到它具有如下主要的性质．（１）周期性由正弦曲线（图７-１-３）可知，正弦函数的值随着自变量的变化呈“”现出周期性的变化．这种周而复始的变化规律可以用数学式子表示为ｓｉｎ（x＋２π）＝ｓｉｎx．正弦函数的这种性质称为周期性．这样，若记f（x）＝ｓｉｎx，则对任意给定的实数x，都有f（x＋２π）f（x）．一般地，如何用数学语言来描述一个函数的周期性呢？定义对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有x＋T∈D，且成立f（x＋T）＝f（x）那么函数y＝f（x）就叫做周期函数（ｐｅｒｉｏｄｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ），而这个非零常数T就叫做函数y＝f（x）的一个周期（ｐｅｒｉｏｄ）．对于一个周期函数y＝f（x），如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数y＝f（x）的最小正周期．因为对任意给定的实数x，都有ｓｉｎ（x＋２kπ）＝ｓｉｎx，k∈Z，由周期函数的定义，正弦函数y＝ｓｉｎx是周期函数，而２kπ（k∈Z，k≠０）均是它的周期．可以证明，２π是它的最小正周期．事实上，若定义域为R的函数y＝f（x）具有正周期T，由于对此函数定义域中任意给定的实数x，总成立f（x＋T）＝f（x），因此函数y=f（x＋T）与函数y＝f（x）必具有完全相同的图像．换而言之，将函数y＝f（x）的图像向左平移T个长度单位，所得图像与y＝f（x）原来的图像必完全合．对于正弦函数y=sinx对任何给定的T′（０＜T′＜２π），y＝ｓｉｎx的图像绝不会相同．这说明正弦函数绝不会有小于２π的正周期，从而其最小正周期为２π．例２求下列函数y＝f（x）的最小正周期：（１）f（x）＝ｓｉｎ３x；解（１）因为对于函数y＝ｓｉｎ３x的定义域R内任意给定的实数x，有今后，我们可以直接使用这个结果来求这类函数的最小正周期例３已知函数正周期是２，求k的值．（其中常数k≠０）的最小解当k＞０时，函数的最小正周期为课本练习练习７．１（２）１．求下列函数的最小正周期：３．现实生活中常碰到类似于周期的现象．根据图中标出的尺度估算下列心电图的周期（其中横轴的单位是２ｍｓ，１ｓ＝１０００ｍｓ；纵轴的单位是ｍＶ）随堂检测1、求下列函数的周期：（2）y＝|sinx|，x∈R；【答案】（1）4π；（2）π；THANKS“”
