1专题07极值点偏移问题的函数选取于极值点偏移问题，前文已多次提到其解题策略是将多元问题（无论含参数或不含参数）转化为一元问题，过程都需要构造新函数．那么，关于新函数的选取，不同的转化方法就自然会选取不同的函数．★已知函数有两个不同的零点，，其极值点为．（1）求的取值范围；（2）求证：；（3）求证：；（4）求证：．解：（1），若，则，在上单调递增，至多有一个零点，舍去；则必有，得在上递减，在上递增，要使有两个不同的零点，则须有．（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当时，；当时，）．（2）由所证结论知这是的极值点偏移问题，选取函数来做，下面按对称化构造的三个步骤来写．（ⅰ）在上，在上，有；（ⅱ）构造函数，则，当时，2，则在上，得，有．（ⅲ）将代入（ⅱ）中不等式得，又，，在上，故，即．（3）由所证结论可以看出，这已不再是的极值点偏移问题，谁的极值点会是1呢？回到题设条件：，记函数，则有．求导得，则1是的极小值点，我们选取函数来证（3）中结论；顺带地，也可证（4）中结论．（ⅰ）在上递减，在上递减，在上递增；与x的符号相同；当时，；当时，；当时，，由不妨设．（ⅱ）构造函数，则3当时，，但因式的符号不容易看出，引进辅助函数，则，得在上，当时，，即，则，则，，得在上，有，即．（ⅲ）将代入（ⅱ）中不等式得，又，，在上，故，．（4）（ⅰ）同上；（ⅱ）构造函数，则4当时，，但因式的符号不容易看出，引进辅助函数，则，当时，，得在上递增，有，则，得在上递增，有，即；（ⅲ）将代入（ⅱ）中不等式得，又，，在上递增，故，．点评：虽然做出来了，但判定因式及的正负时，均需要辅助函数的介入，费了一番功夫，虽然的极值点是1，理论上可以用来做（3）、（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有找到理想的函数．再次回到题设条件：，记函数，则有．接下来我们选取函数再解（3）、（4）两问．（3）（ⅰ），得在上递减，在上递增，有极小值5，又当时，；当时，，由不妨设．（ⅱ）构造函数，则当时，，，则，得在上递减，有，即（ⅲ）将代入（ⅱ）中不等式得，又，故，又，，在上，故，．（4）（ⅰ）同上；（ⅱ）构造函数，则6当时，，得在上，有，即；（ⅲ）将代入（ⅱ）中不等式得，又，，在上，故，．【点评】用函数来做（3）、（4）两问，过程若行云流水般，格外顺畅．这说明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度．注1：第（2）问也可借助第（4）问...
