2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）第6章三角6.3正弦定理（第1课时）在初中我们已学习了直角三角形的求解问题，但在解决实际问题时，所遇到的三角形往往不是直角三角形．我们将不是直角三角形的三角形统称为斜三角形．在三角形的三个角和三条边这六个元素中，经常会遇到已知其中三个元素（至少一个元素为边）求其他元素的问题，这称为解三角形．为此，需要知道边和角之间的数量关系例如，某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A和B．某日两个观测点的林场人员都观测到C处出现火情．在A处观测到火情发生在北偏西４０°方向，而在B处观测到火情在北偏西６０°方向．已知B在A的正东方向１０ｋｍ处（图６-３-１），要确定火场C分别距A及B多远．将此问题转化为数学问题：在△ABC中，已知∠CAB＝１３０°，∠CBA＝３０°，AB＝１０ｋｍ．求AC与BC的长．为解答这个斜三角形问题，就要研究斜三角形中边与角之间的关系．在△ABC中，无论A为锐角、直角还是钝角，对边AB上的高h，都有h＝bｓｉｎA，其中b为边AC的长．为了避免分类讨论，我们借助平面直角坐标系来统一处理．这就是说，三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦值的乘积的一半，即三角形的面积公式为这样，我们就得到了正弦定理：在△ABC中，若角A、B及C所对边的边长分别为a、b及c，则有例１如图６-３-１，在△ABC中，已知∠CAB＝１３０°，∠CBA＝３０°，AB＝１０ｋｍ．求AC与BC的长．（结果精确到０．１ｋｍ）解在△ABC中，由于C＝１８０°－１３０°－３０°＝２０°，由正弦定理，得从而所以，Ac长约为１４．６ｋｍ，BC长约为２２．４ｋｍ．利用例１的结果，在本节一开始所考虑的问题中，就可以确定火场C的位置．正弦定理表明三角形的各边和它所对角的正弦的比相等．那么，这个比的几何意义是什么呢？例２已知圆O是△ABC的外接圆，其圆心为O，直径为２R．试用R与角A、B及C的正弦来表示三角形三边的边长a、b及c解由于三角形内角和等于１８０°，因此角A、B及C中至少有两个角是锐角，不妨设A为锐角，如图６-３-３所示．过B作直径BD，并连接CD．直径BD所对的圆周角∠DCB＝９０°，弧BC所对的圆周角∠D＝∠A，且BD＝２R．于是a＝BC＝BDｓｉｎD＝BDｓｉｎA＝２RｓｉｎA，这样，由正弦定理就得到换言之a＝２RｓｉｎA，b＝２RｓｉｎB，C＝２RｓｉｎC例３设R是△ABC的外接圆的半径，S为△ABC的面积．求证：课本练习练习６．３（１）１．在△ABC中，已知a＝７，B＝３０°...
