原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6.3二项式定理（基础知识+基本题型）知识点一二项式定理的猜想及证明1．观察初中学习过的(a+b)2=a2+2ab+b2的特征：（1）左边是(a+b)2，右边的展开式含有3项；（2）右边的展开式a2+2ab+b2也可以表示为a2b0+2ab+a0b2，按a的降幂排列，由此可见，右边的展开式中的每一项含有a,b，且a,b的指数和都是2；（3）右边的展开式按a的降幂排列后，各项的系数分别为1,2,1．从组合的观点看，(a+b)2=(a+b)(a+b)的展开式中的项共3类，每一类都需要两个步骤完成：（1）不含b的项，即a2，是在两个因式中不取b，都取a，共有C20个a2；（2）含1个b的项，即ab，是在两个因式中一个取a，一个取b，共有C21个ab，即2ab；（3）含b2的项，是在两个因式中都取b，不取a，共有C22个b2．所以(a+b)2=C20a2+C21ab+C22b2．根据上面的分析，可以猜想：(a+b)3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3．(a+b)4=C40a4+C41a3b+C42a2b2+C43ab3+C44b4．．．．．．．(a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b1+⋯+Cnnbn(n∈N¿)．2．对任意正整数n，(a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b1+⋯+Cnkan−kbk+⋯+Cnnbn(n∈N¿)叫做二项式定理．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式，其中各项的系数Cnk（k∈{0,1,2,⋯,n}）叫做二项式系数．用数学归纳法证明二项式定理如下：（1）当n=1时，左边=(a+b)1=a+b=C10a+C11b=右边，所以等式成立．（2）假设当n=k时等式成立，即(a+b)k=Ck0ak+Ck1ak−1b1+Ck2ak−2b2+⋯+Ckkbk；当n=k+1时，有(a+b)k+1=(a+b)(a+b)k=(a+b)(Ck0ak+Ck1ak−1b1+Ck2ak−2b2+⋯+Ckkbk)=a(Ck0ak+Ck1ak−1b1+Ck2ak−2b2+⋯+Ckkbk)+b(Ck0ak+Ck1ak−1b1+Ck2ak−2b2+⋯+Ckkbk)=Ck0ak+1+(Ck1+Ck0)akb+(Ck2+Ck1)ak−1b2+⋯+Ckkbk+1=Ck+10ak+1+Ck+11akb+Ck+12ak−1b2+⋯+Ck+1k+1bk+1，所以当n=k+1时等式也成立．由数学归纳法，知等式对一切n∈N¿都成立．在上述证明过程中，使用了组合数的性质Ck0=Ck+10，Ckr+1+Ckr=Ck+1r+1．知识点二二项式定理中二项展开式的特点（1）共有项，比二项式的次数大1；（2）各项的次数（即，的次数和）都等于二项式的次数；（3）在排列方式上，按照字母的降幂排列．从第一项起，字母的次数由次逐项减少1次直到0次，同时字母按照升幂排列，次数由0次逐项增加1次直到次；（4）二项展开式中，二项式系数依次为，，，…，，这是一组仅与二项式的次数有关的个组合数，与，无关．知识点三二项展开式的通项在二项展开式中...
