南京航空航天大学第1页（共2页）二○一三～二○一四学年第1学期课程名称：《工科数学分析》参考答案及评分标准命题教师：试卷类型：A卷试卷代号：一、填空题1.；2．；3．；4．；5．；6．二、单项选择题1.D2.A3.C4.C5.A三、计算题1解：…………(2分)于是………(7分)2解：方程两边对求导得……………………………(2分)令得再代回原方程，得，有唯一驻点，……(4分)再求导因此，故驻点是的极小点…………………………(7分)3解：令，则代入方程得或，则………(4分)由在处连续，，且，得，所以………………………………………(7分)四、1解：解微分方程得其通解…………………(3分)第2页（共2页）又因为通过原点时与直线及围成平面区域的面积为2，于是可得从而，故……(5分)围绕轴旋转所得旋转体的体积为…………………(8分)2解：，则，……(3分)令，则，当时，，则曲线在上是凸的；当时，，则曲线在上是凹的，为曲线的拐点.………….………(8分)五、1.证明：设，由积分中值定理，存在，，使.…………………(3分)由已知条件，有，由于，并且在上连续，在上可导，故由罗尔定理知，存在使得，即.……(8分)2．（1），令，得唯一驻点，当时，，函数递减；当时，，函数递增．所以函数在处取得最小值．………(4分)（2）证明：由于，但，所以，故数列单调递增.又由于，得到，数列有界.由单调有界收敛定理可知极限存在.令，则，由（1）的结论可知.…………(8分)3.证明：由拉格朗日定理存在于与之间使得.…………………(4分)注意到，.由泰勒定理，存在于与之间使得，从而.…………………………………………(8分)
