线性代数练习三学号姓名一、填空1、已知矩阵A＝001010400−，矩阵B与A相似，则B＝，2BI+的特征值为，12BI−+的特征值为，2122BI−＝。2、设矩阵A有特征值1λ＝0，则a＝，其中A＝10102010a。3、三阶矩阵A特征值为1，2，－3，则A相似于对角形矩阵，A的对角标准形为，A的分别属于特征值1、2的特征向量1η，2η必线性关；又若实对称矩阵B与A相似，那么B属于1和2的特征向量1ξ，2ξ必。4、已知三阶方阵A、AI−、2AI+都不可逆，则A的特征值为，且A的特征多项式为，A（填能或不能）与对角形矩阵相似。5、三阶实对称矩阵A特征值为1λ＝2λ＝3λ＝2，则A属于特征值2的线性无关的特征向量必有个，与A相似的对角形矩阵为，且A＝。6、设A为三阶实对称矩阵，特征值为1λ＝2λ＝2，3λ＝1，若A属于特征值1的一个特征向量为ξ＝()140T−，则A属于特征值2的线性无关的特征向量为1η＝和2η＝。7、设A为四阶矩阵且()rA＝2，则A的伴随矩阵*A的秩()*rA＝。8、二次型()123fxxx＝TXAX的矩阵A的特征值为1λ，2λ，3λ则此二次型在正交变换下化为标准形f＝，当iλ（i＝1，2，3）满足条件时，此二次型正定；又若A的特征值为－2，0，3，则此二次型的规范形为，此时二次型的秩为。二、计算题1、设二次型()2221231231213232484fxxxxxxxxxxxx=−++++1）用正交变换法将二次型化为标准形，写出所做正交变换及标准形。2）用配方法将二次型化为标准形，写出所做可逆线性变换及标准形。3）此二次型是否正定？说明理由。2、矩阵A＝2125312ab−−−的一个特征向量为1η＝111−。1）确定A中参数a、b，并求出特征向量1η对应的特征值1λ。2）问矩阵A能否与对角形矩阵相似，说明理由。3、三阶实对称矩阵A特征值为1λ＝2λ＝1，3λ＝－1，A属于特征值1的线性无关的特征向量为1η＝011−，2η＝121−−。1）求矩阵A属于特征值3λ＝－1的特征向量3η。2）求正交矩阵T，使1TAT−＝TTAT为对角形矩阵，并写出此对角形矩阵。3）求矩阵10A。
