第六章平面不可压势流§6.1势函数和流函数势函数只存在于无旋流动中。流动无旋时，恒为零，即Ω�0,0,0=∂∂−∂∂=Ω=∂∂−∂∂=Ω=∂∂−∂∂=Ωyvxvxvzvzvyvxyzzxyyzx按照场论知识，如果一个矢量的旋度为零，则必然存在一个标量，使得这个矢量可以表示成该标量的梯度，即ϕϕzvyvxvzyx∂∂=∂∂=∂∂=ϕϕϕ,,这个就是速度的势函数。ϕ或者，按照Cauchy-Riemann定理，当dzvdyvdxvzyx++yvxvxvzvzvyvxyzxyz∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂,,成立时，微分式成为全微分式：ϕddzvdyvdxvzyx=++这里的就是无旋流动的速度势，它满足：ϕzvyvxvzyx∂∂=∂∂=∂∂=ϕϕϕ,,�柱坐标系下，势函数和速度的关系是zvrvrvzr∂∂=∂∂=∂∂=ϕθϕϕθ势函数的意义在于，三个速度分量可以通过一个标量表示，从而可以使三个变量减为单变量。势函数也可写成全微分形式，在直角坐标系下：dzvdyvdxvdzyx++=ϕ[例1]已知速度分布：yvxvyx6,6−==，求势函数。[解]首先，需要判断势函数是否存在。对二维问题，只要判断涡量的z分量即可。因为000=−=∂∂−∂∂xvyvyx所以，流动有势。按照势函数的定义：yyvxxvyx6,6−=∂∂==∂∂=ϕϕ从第一式积分，得到：()()yfxyx+=23,ϕ再从第二式，定出，C可以取为零。()Cyyf+−=23()因此()223,yxyx−=ϕ�Laplace方程如果流动是不可压缩的，那么必须满足下面的连续方程：0=∂∂+∂∂+∂∂zVyVxVzyx把势函数的表达式代入，得到下面的Laplace方程：0222222=∂∂+∂∂+∂∂zyxϕϕϕ柱坐标下，对应的Laplace方程是：01122222=∂∂+∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂zrrrrrϕθϕϕ[说明](1)Laplace方程是一个线性方程，因此比较容易求解。在适当的边界条件下，一旦获得势函数的解，就立即可得到速度场分布。再按Bernoulli方程，就可求得压力场。这就是势函数的作用所在，也是势流理论的核心。(2)Laplace方程是一个线性方程，也意味着它满足叠加原理：即如果和都满足方程，则其任意的线性组合也是原方程的解，这里a，b是任意两个常数。1ϕ2ϕ21ϕϕba+请记住，只要是无旋流动，则势函数一定满足Laplace方程。�流函数势流理论中，除了势函数外，还有流函数的概念。对于平面(即二维)不可压缩流动，按照连续方程(这是必须满足的)：yvxvyvxvyxyx∂∂−=∂∂=∂∂+∂∂即,0按照Cauchy-Riemann定理，下列微分式dyvdxvxy+−成为全微分式，即存在一个标量函数dyvdxvdxy+−=ψψxvyvyx∂∂−=∂∂=ψψ,这个称为流函数。显然，只有二维情况下才存在流函数...
