无穷级数—表示函数的一种新方法，是研究函数性质与工程计算的重要工具.无穷级数的概念，我们在中学就已经涉及过2()()naararara+++++如无穷等比级数几何级数为常数133330.3333310100100010n==+++++无限循环小数也可以看作是一无穷级数，例如：级数的概念基本性质级数收敛的必要条件一、级数的概念1.级数的定义12121,,,,()()nnnnuuuuuuu∞=++++∑给定一个数列，则称为常数项无穷级数，简称常数项级数，记作，即121(1)nnnuuuu∞==++++∑一般项或通项(1)我们知道有限项相加是数，级数是无穷项和的形式，无穷多项能否相加，其和是什么？2.级数的收敛与发散1nnun∞=∑级数的前项和121niniuuuu==+++∑ns∆=1nnu∞=∑称为级数的部分和.1,2,3,{}.nns=当时，得一数列1121212nnsusuusuuu==+=+++即，，，，，部分和数列.定义11{}limlim.nnnnnnnnnsssussu∞→∞=→∞∞==∑∑对于，若，则称级数收敛，称为该级数的和；若不存在，则称级数发散，称该级数没有和1()lim().nnnnus∞→∞=⇔∑级数收敛发散存在不存在1nnnuss∞=≈∑当收敛时，nnrss=−余项121nnniiuuu∞+++==++=∑，lim0.nnr→∞=则例120(0).nnnaraararara∞==+++++≠∑讨论等比级数的敛散性解ns=1nar=，；11(1)12nar−+−=−，；(1)1.1narrr−≠−，11lim1.nnarrsr→∞<−=≥，；不存在，0(0)1nnarar∞=≠<∑等比级数，当时收敛，其和注11arr≥−为；当时发散.例2111.1223(1)nn++++⋅⋅+判断级数的敛散性解1(1)nunn=+111nn=−+，1111223(1)nsnn∴=+++⋅⋅+1111111(1)()()()223341nn=−+−+−++−+111n=−+，1limlim(1)1nnnsn→∞→∞=−+而1.=1.∴该级数收敛，其和为例311ln(1).nn∞=+∑判断级数的敛散性解1ln(1)nun=+ln(1)lnnn=+−，111ln(1)ln(1)ln(1)12nsn∴=++++++(ln2ln1)(ln3ln2)[ln(1)ln]nn=−+−++−ln(1)n=+，limlimln(1)nnnsn→∞→∞=+而.=+∞11ln(1).nn∞=∴+∑级数发散例41(1).nnn∞=+−∑判断级数的敛散性解(21)(32)(43)(1)nsnn=−+−+−+++−11n=+−，limlim(11)nnnsn→∞→∞=+−而.=+∞1(1).nnn∞=∴+−∑级数发散练习1.nn∞=∑判断级数的敛散性注1.判断级数敛散性方法.2.缺点.(1)(2)nnss先求部分和；再对求极限，然后由定义判断级数的敛散性.nnss一般情况下的表达式难求，或者的极限难求，所以局限性较大.二、基本性质由级数敛散性的定义，可以得到如下性质.性质11111.nnnnnnnnukkukuku∞...
