第四章随机变量的数字特征一个随机变量的性质，完全由它的分布函数所确定，但在实际问题中，常常很难求出随机变量的分布函数;另一方面，在某些问题中也并不需要知道其分布函数，只要知道随机变量的某些特征就够了。例如：评定某工厂生产的一批灯泡的质量，一般是评定灯泡的寿命，寿命是随机变量，通常只需知这批灯泡的平均寿命以及相对于这个平均寿命的偏离程度就够了。本章将介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差、相关系数和矩.例:在一次测验中，10名学生有2人得70分，5人得80分，3人得90分，那么他们的平均成绩为81分，具体计算方法为：8130905080207010390580270=×+×+×=÷×+×+×...)(若将10个学生中任一个人的测验成绩看成随机变量X，则X的分布律为X708090P0.20.50.3上面平均分算式的右端正好是X的各个可能取值与相应概率乘积之和，所以由,称为X的数学期望,数学期望是能够体现随机变量取值的平均数。∑=⋅kkkxXPx}{§1数学期望一、数学期望的定义.,2,1,}{===kpxXPXkk的分布律为设离散型随机变量定义：).X(EXpxpxkkkkkk望，记为的数学期的和为绝对收敛，则称如果级数∑∑∞=∞=11.)(1∑∞==kkkpxXE即),(xfX的概率密度为设连续型随机变量).X(EXdx)x(fxdx)x(fx的数学期望，记为的值为绝对收敛，则称如果积分∫∫∞∞−∞∞−∫∞∞−=.)()(dxxfxXE即∑∞=1kkkpx∫∞∞−dx)x(fx注:数学期望是最基本的数字特征，数学期望是能够体现随机变量取值的平均数,数学期望简称期望，又称为均值。例:买一张奖卷能获得的奖金数X服从如下分布X0210100100010000P求“期望”的奖金数就是X的平均值。)(12.02.02.02.02.00)(元=+++++=XE.px)X(Ekkk∑∞==11)若将5个装置串联成整机，求整机寿命N的数学期望；2)若将5个装置并联成整机，求整机寿命M的数学期望。概率密度为服从同一指数分布，其装置，它们的寿命个相互独立工作的电子有例题：)5,4,3,2,1(5=kXk.0,0,0,0,1)(/>≤>=−θθθxxexfx≤>−=≤≤−.0,0,0,1)()51(/xxexFkXxkθ的分布函数为解：的分布函数为则),,,min().1521XXXN=≤>−=−−=−.0,0,0,1)](1[1)(/55minxxexFxFxθ∫∞∞−=.dx)x(fx)X(E≤>θ=θ−.0x,0,0x,e5)x(f/x5min≤>=−.0,0,0,5)(/5minxxexfNxθθ的概率密度为所以.55)()(0/5minθθθ===∴∫∫∞−∞∞−dxexdxxfxNEx的分布函数为)X,,X,X(MaxM521=≤>−==−.0,0,0,]1[)]([)(5/5maxxxexFxFxθ≤>θ−=θ−θ−....
