第5章_(1).pptVIP免费

222X,,P{}XChebyshev定理设随机变量具有数学期望E(X)=,方差DX则对任意正数不等式成立。不等式22(),P{}()()XXfxXXfxdxfxdx证明：只就连续型随机变量的情况来证明。设X的概率密度为则有221()Xfxdx22第五章大数定律与中心极限定理5.1大数定律一、切比雪夫不等式(P127)dx)x(f)]X(Ex[)X(D2切比雪夫不等式的另一种形式：22{}1PX222222{}1{}{}1XXX证：PPP22{}1PX例:设随机变量X的数学期望EX=,方差DX=,则由Chebyshev不等式，有2?}X{P55解：252451522)(}X{P二、大数定律1、随机变量序列的依概率收敛定义成立。则称依概率收敛于,}{nXPnX记为1}|{|limnnXP设是一随机变量序列，如果存在一个常数,总有,,,21nXXX0ts对PPnnPnnXa,Yb,g(x,y)(a,b),g(X,Y)g(a,b).设又设函数在点连续则收敛于必然事件充分大时，当nnX,|X|n2、依概率收敛的随机变量序列的性质3、切比雪夫大数定理设随机变量相互独立，如果则序列依概率收敛于,即n21X,,X,X),2,1k()X(D,)X(E2kknkkXnX11注:本定理说明,n个r.v.,如果它们相互独立,且具有有限的相同的数学期望和方差,那么当n很大时,这n个随机变量的算术平均值几乎是一个常数,就是它们的数学期望.1}1{lim1nkknXnP证：由于nn1)X(En1)X(En1]Xn1[En1kkn1kkn1kknnn1)X(Dn1)X(Dn1]Xn1[D222n1kk2n1kk2n1kk由切比雪夫不等式得./1}1{221nXnPnkk即得并注意到概率不能大于11}1{lim1nkknXnP22{}1PX.1}Xn1{Plimn1kkn4、贝努里大数定理设是n重贝努里试验中事件A发生的次数,AN,p)A(P则对任意有0注:贝努利定理说明,事件A发生的频率nA/n依概率收敛于事件A发生的概率p,这就以严格的数学形式表达了频率的稳定性,就是说,当n很大时,事件A发生的频率与概率有较大的差别的可能性很小..1}{limpnNPAn证：引进随机变量第次A发生;第次A不发生.由切比雪夫大数定律得,1})(1{lim21pXXXnPnn.1}pnN{Plim,An即贝努里...