3 常系数线性微分方程组.pptVIP免费

20078年月南京航空航天大学理学院数学系1常系数线性微分方程组常系数齐次线性微分方程组常系数非齐次线性微分方程组20078年月南京航空航天大学理学院数学系2(),dxAxftdt,()Annftatb这里系数矩阵为常数矩阵在上连续的向量函数;一阶常系数线性微分方程组:()0,ft若则对应齐线性微分方程组为,(1)dxAxdt本节主要讨论(1)的基解矩阵的求法.20078年月南京航空航天大学理学院数学系3一、矩阵指数expA的定义和求法1expA的定义定义,expAnnA设为常数矩阵则定义矩阵指数为下列矩阵级数的和20exp(2)!2!!kmkAAAAEAkm0,,,0!1.mEAAmAE其中为单位矩阵为的次幂注1:矩阵级数(2)是收敛的.由于,!!kkAAkk而数项级数1!kkAk收敛.20078年月南京航空航天大学理学院数学系4注2:级数在t的任何有限区间上是一致收敛的.由于,,!!kkkkAcAttckk而数项级数1!kkkAck收敛.220exp!2!!kmkmkAAAAttEAtttkm20078年月南京航空航天大学理学院数学系52矩阵指数的性质(1),.ABABABBAeee若则1(2),(exp)AA对任何矩阵存在,且1(exp)exp(-).AA=由于:0()exp()!kkABABk0k0;!()!lklklABlkl00expexp!!ijijABABij=00[];!()!lklkklABlkl绝对收敛级数的乘法定理由于:expexp(-)AAexp((-))AAexp0.E20078年月南京航空航天大学理学院数学系6(3),T若是非奇异的则)(exp).ATAT-1-1exp(TT由于:)AT-1exp(T10()!kkTATkE11()!kkTATkE11!kkTATk1TT11()!kkATTk11()!kkATETk(exp).AT-1T20078年月南京航空航天大学理学院数学系73常系数齐线性微分方程组的基解矩阵(1)定理矩阵()exptAt是(1)的基解矩阵,且(0).E证明:0,exptAt当时由定义知(0);E又因为''()(exp)tAt23211!2!(1)!mmAAAAtttmAA()exptAt故是基解矩阵22()2!!mmAAEAtttmexpAt(),tA20078年月南京航空航天大学理学院数学系8例1如果A是一个对角矩阵12naaAa'.xAx试求出的基解矩阵解由(2)得expAtE121!naata2122222!naata20078年月南京航空航天大学理学院数学系912!mmmmnaatma12natatateee...