第四章 数值积分.pptVIP免费

第四章数值积分4.0引言我们知道,若函数f(x)在区间[a,b]上连续且其原函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式baaFbFdxxf)()()(求得定积分求定积分的值,Newton-Leibnitz公式无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到以下三种情况：(1)被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的有限形式表示的原函数F(x)，例如：Newton-Leibnitz公式就无能为力了dxedxxxx10102sin和(2)还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，但表达式太复杂，例如函数32)(22xxxf并不复杂，但积分后其表达式却很复杂,积分后其原函数F(x)为：)322ln(2169321633241)(22222xxxxxxxxF(3)被积函数f(x)没有具体的解析表达式,其函数关系由表格或图形表示。对于这些情况,要计算积分的准确值都是十分困难的。由此可见,通过原函数来计算积分有它的局限性,因而研究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题,这时需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，用代数插值多项式去代替被积函数发f(x)进行积分是本章讨论数值积分的主要内容。4.1数值积分概述4.1.1数值积分的基本思想积分值在几何上可以解释为由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围成的曲边梯形面积。如图4-1所示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边y=f(x)badxxfI)(y=f(x)ab图4-1数值积分的几何意义建立数值积分公式的途径比较多,其中最常用的有两种：（1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区间[a,b]内存在一点ξ，使得即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为的矩形面积。但是点ξ的具体位置一般是未知的,因而的值也是未知的,称为f(x)在区间[a,b]上的平均高度。那么只要对平均高度提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方法bafabdxxfba,)()()()(f)(f)(f)(f三个求积分公式①梯形公式y=f(x)yxab)()()(21)(bfafabdxxfbay=f(x)abyx(a+b)/2②中矩形公式)2()()(bafabdxxfba按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式。例如分别取和则分别得到中矩形公式和梯形公式。)(f)2()(baff2)()()(bfaffy=f(x)ababy=f(x)yab③Simpson公式(a+b)/2)()2...