课后限时集训21 利用导数证明不等式.pptVIP免费

课后限时集训(二十一)利用导数证明不等式课后限时集训(二十一)利用导数证明不等式1．(2020·南昌模拟)已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.[解](1)f′(x)＝ex－a(x＞0)．①若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②若a＞0，则当0＜x＜ea时，f′(x)＞0，当x＞ea时，f′(x)＜0，故f(x)在0，ea上单调递增，在ea，＋∞上单调递减．课后限时集训(二十一)利用导数证明不等式(2)证明：方法一：因为x＞0，所以只需证f(x)≤exx－2e，当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－e.记g(x)＝exx－2e(x＞0)，则g′(x)＝x－1exx2，课后限时集训(二十一)利用导数证明不等式所以当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝－e.综上，当x＞0时，f(x)≤g(x)，即f(x)≤exx－2e，即xf(x)－ex＋2ex≤0.课后限时集训(二十一)利用导数证明不等式方法二：由题意知，即证exlnx－ex2－ex＋2ex≤0，从而等价于lnx－x＋2≤exex.设函数g(x)＝lnx－x＋2，则g′(x)＝1x－1.所以当x∈(0,1)时，g′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0，故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而g(x)在(0，＋∞)上的最大值为g(1)＝1.课后限时集训(二十一)利用导数证明不等式设函数h(x)＝exex，则h′(x)＝exx－1ex2.所以当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，故h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而h(x)在(0，＋∞)上的最小值为h(1)＝1.综上，当x＞0时，g(x)≤h(x)，即xf(x)－ex＋2ex≤0.课后限时集训(二十一)利用导数证明不等式2．(2020·赣州模拟)已知函数f(x)＝1－lnxx，g(x)＝aeex＋1x－bx，曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直．(1)求a，b的值；(2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥2x.课后限时集训(二十一)利用导数证明不等式[解](1)因为f(x)＝1－lnxx，所以f′(x)＝lnx－1x2，f′(1)＝－1.因为g(x)＝aeex＋1x－bx，所以g′(x)＝－aeex－1x2－b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g(1)＝1，且f′(1)·g′(1)＝－1，所以g(1)＝a＋1－b＝1，g′(1)＝－a－1－b＝1，解得a＝－1，b＝－1.课后限时集训(二十一)利用导数证明不等式(2)证明：要证f(x)＋g(x...