高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI第2课时利用向量求空间角第一章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两异面直线所成角.(数学运算)2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成角.(数学运算)3.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小.(数学运算)思维脉络课前篇自主预习[激趣诱思]地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”,黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26'.黄道面与天球相交的大圆为“黄道”.黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带,太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座,如白羊座、狮子座、双子座等.[知识点拨]一、利用向量方法求两条异面直线所成的角若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,要点笔记不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两异面直线所成角的范围是,而两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.则cosθ=|cos
|=ቚ𝑢·𝑣|𝑢||𝑣|ቚ=|𝑢·𝑣||𝑢||𝑣|.ቀ0,π2ቃ微练习若异面直线l1,l2的方向向量分别是a=(0,-2,-1),b=(2,0,4),则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于()答案BA.-25B.25C.-2ξ55D.2ξ55解析因为a·b=-4,|a|=ξ5,|b|=2ξ5,所以cosθ=|cos|=ቚ𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|ቚ=ቚ-410ቚ=25.二、利用向量方法求直线与平面所成的角直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则要点笔记直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的射影所成的角,其范围是sinθ=|cos|=ቚ𝑢·𝑛|𝑢||𝑛|ቚ=|𝑢·𝑛||𝑢||𝑛|.ቂ0,π2ቃ.微思考直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系?提示设n为平面α的一个法向量,a为直线a的方向向量,直线a与平面α所成的角为θ,则θ=൝π2-<𝑎,𝑛>,<𝑎,𝑛>∈[0,π2],<𝑎,𝑛>-π2,<𝑎,𝑛>∈(π2,π].微练习若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于()A.120°B.60°C.150°D.30°解析因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,所以它们所在直线的夹角为60°,则直线l与平面α所成的角等于90°-60°=30°.答案D三、利用向量方法求两个平面的夹...
