第二课时用空间向量研究空间角问题(一)教材梳理填空1．异面直线所成的角若异面直线l1,l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝u·v|u||v|＝|u·v||u||v|.2．直线与平面所成的角图示公式sinθ＝|cos〈u，n〉|＝u·n|u||n|＝|u·n||u||n|3.平面与平面所成的角定义平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角图示公式cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝n1·n2|n1||n2|＝|n1·n2||n1||n2|(二)基本知能小试1．判断正误(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．()(2)直线l与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角．()(3)二面角αlβ的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则θ＝〈n1，n2〉．()答案：(1)×(2)×(3)×2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则直线l与平面α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案：A3．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°答案：C题型一求异面直线所成角的问题[学透用活][典例1](2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A．32B．155C．105D．33[解析]以B1为坐标原点，B1C1所在的直线为x轴，垂直于B1C1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．由已知条件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(－1，3，1)，则BC1―→＝(1,0，－1)，AB1―→＝(1，－3，－1)．所以cos〈AB1―→，BC1―→〉＝AB1―→·BC1―→|AB1―→|·|BC1―→|＝25×2＝105.所以异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为105.[答案]C[方法技巧]用坐标法求异面直线所成角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角．[对点练清]如图，在三棱锥VABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝π3，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．解：因为AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．在Rt△VCD中，CD＝2，∠VDC＝π3，故V(0,0，6)．...
