高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI10.3几个三角恒等式第10章2022内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.能运用和差角的正弦、余弦公式及二倍角公式等进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).(逻辑推理)2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.(数学运算)思维脉络课前篇自主预习【激趣诱思】和差化积公式最早出现在法国数学家韦达(1540—1603)写的三角学著作《标准数学》中,他还发现了我们熟知的韦达定理.韦达不仅是代数学家,而且也是三角学家,更难得的是他能用三角知识求解代数方程.同学们,我们要向韦达学习,好好学习三角函数知识,理解它们的逻辑脉络,达到综合贯通的目的.【知识梳理】一、三角函数的积化和差公式名师点析积化和差公式可以将两个三角函数的积化为另两个三角函数的和或差乘常数的形式.cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α-β)];sinαsinβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)];sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α-β)];cosαsinβ=12[sin(α+β)-sin(α-β)].微思考积化和差与和差化积公式中的α,β的取值范围是什么?提示α∈R,β∈R.微练习把2sin10°cos8°化成和或差的形式为()A.sin18°-sin2°B.sin18°+cos2°C.sin18°+sin2°D.cos18°+cos2°答案C二、三角函数的和差化积公式名师点析这四个公式叫作和差化积公式,利用它们和其他三角函数关系式,可以把某些三角函数的和与差化成积的形式.和差化积口诀:正加正,正在前,余加余,余并肩;正减正,余在前,余减余,负正弦.sinα+sinβ=2sin𝛼+𝛽2cos𝛼-𝛽2;sinα-sinβ=2cos𝛼+𝛽2sin𝛼-𝛽2;cosα+cosβ=2cos𝛼+𝛽2cos𝛼-𝛽2;cosα-cosβ=-2sin𝛼+𝛽2sin𝛼-𝛽2.微练习(1)把sin15°+sin5°化成积的形式为()A.sin5°sin15°B.2cos10°cos5°C.2sin10°sin5°D.2sin10°cos5°(2)把cos35°-cos25°化成积的形式为()A.cos5°B.-cos5°C.-sin5°D.-sin5°答案(1)D(2)Dξ3ξ3三、半角公式sin𝛼2=±ට1-cos𝛼2,cos𝛼2=±ට1+cos𝛼2,tan𝛼2=±ට1-cos𝛼1+cos𝛼.名师点析(1)若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号.(2)若给出了角α的具体范围,则先求所在范围,再根据所在范围确定符号.𝛼2𝛼2(3)若给出的角α是某一象限的角,则根据下表决定符号.(4)另外tan𝛼2=sin𝛼1+cos𝛼=1-cos𝛼sin𝛼.微判断(1)sin15°=±ට1-cos30°2.()(2)对于∀α∈R,sin𝛼2=12sinα都不成立.()(3)若5π<θ<6π,cos𝜃2=a,则cos𝜃4=ට1+...
