高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI9.2.2向量的数乘第9章2022内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.理解向量数乘的定义及几何意义.(数学抽象、直观想象)2.掌握向量数乘的运算律,能够用已知向量表示未知向量.(逻辑推理、数学运算)3.掌握共线向量定理,会判断或证明两个向量共线.(逻辑推理)思维脉络课前篇自主预习【激趣诱思】夏季的雷雨天,我们往往先看到闪电,后听到雷声,雷声和闪电发生于同一点而传到我们这儿为什么有个时间差?因为声速与光速的大小不同,光速是声速的88万倍.若设光速为v1,声速为v2,将向量类比于数,则有v1=880000v2.对于880000v2,我们规定是一个向量,其方向与v2相同,其长度为v2长度的880000倍.这样实数与向量的积的运算称为向量的数乘.那么向量数乘的几何意义及运算律是怎样规定的呢?【知识梳理】一、向量的数乘运算(1)定义:实数λ与向量a相乘的运算,叫作向量的数乘,记作λa.它的长度和方向规定如下:①|λa|=|λ||a|.②若a≠0,则当λ>0时,λa与a方向相同;该条件必不可少当λ<0时,λa与a方向相反.特别地,当λ=0时,0a=0;当a=0时,λ0=0.(2)λa的几何意义:当λ>0时,把向量a沿着a的相同方向放大或缩小;当λ<0时,把向量a沿着a的相反方向放大或缩小.(3)运算律:设a,b为向量,λ,μ为实数,则有:①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb.(4)向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算,向量的线性运算结果仍是向量.名师点析(1)λa的几何意义就是把向量a沿着与a相同(λ>0)或相反(λ<0)的方向伸长(|λ|>1)或缩短(|λ|<1)到原来的|λ|倍或|λ|.(2)要注意实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如:2+a,1-0无意义.微练习A.a+bB.a-bC.2a+3bD.2a-3b答案C在▱ABCD中,𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=2a,𝐴𝐷ሬሬሬሬሬԦ=3b,则𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ等于()解析𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ=𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ+𝐴𝐷ሬሬሬሬሬԦ=2a+3b.微思考若向量a是非零向量,则向量与向量a有什么关系?提示因为向量a是非零向量,所以|a|>0,根据数乘向量的几何意义可知:向量是与向量a同向的单位向量.𝑎|𝑎|𝑎|𝑎|二、向量共线定理条件必不可少1.设a为非零向量,如果有一个实数λ,使b=λa,那么b与a是共线向量;反之,如果b与a是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.2.三点共线问题通常转化为向量共线问题.名师点析该定理中a≠0的原因(1)若a=b=0,则实数λ存在,但λ并不唯一,此时定理不成立.(2)若b≠0,a=0,则不存在实数λ,使b=λa,此时定理也不成立.微...
