高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI7.2.2复数的乘、除运算第七章2022内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.掌握复数乘、除运算的法则,能够进行复数的乘、除运算.(数学运算)2.掌握虚数单位i幂值的周期性,能进行有关的运算.(数学运算)3.能在复数范围内解有关方程问题.(逻辑推理、数学运算)思维脉络课前篇自主预习激趣诱思我们知道,两个实数的乘法对加法来说满足分配律,即a,b,c∈R时,有(a+b)c=ac+bc,而且,实数的正整数次幂满足am·an=am+n,(am)n=amn,(ab)n=an·bn,其中m,n均为正整数,那么,复数的乘法应该如何规定,才能使得类似的运算法则仍成立呢?知识点拨识点一、复数的乘法及其运算律1.复数乘法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.2.复数乘法的运算律对于任意z1,z2,z3∈C,有交换律z1z2=z2z1结合律(z1z2)z3=z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3要点笔记(1)复数的乘法与多项式的乘法类似,注意有一点不同,即必须在所得结果中把i2换成-1,再把实部、虚部分别合并.(2)两个复数的积仍为复数,可推广,任意多个复数的积仍然是一个复数.(3)重要性质:z𝑧=|z|2.微思考in(n∈N*)有什么规律?提示i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*),即in(n∈N*)是以4为周期的.微练习(1)(4-i)(3+2i)=.(2)(-3+2i)2=.答案(1)14+5i(2)5-12i解析(1)(4-i)(3+2i)=12+8i-3i+2=14+5i.(2)(-3+2i)2=9-4-12i=5-12i.知识点二、复数的除法在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成𝑎+𝑏i𝑐+𝑑i的形式,再把分子与分母都乘分母的共轭复数c-di,化简可得(a+bi)÷(c+di)=𝑎𝑐+𝑏𝑑𝑐2+𝑑2+𝑏𝑐-𝑎𝑑𝑐2+𝑑2i(a,b,c,d∈R,且c+di≠0).微练习(2019天津卷)i是虚数单位,则的值为.ฬ5-i1+iฬ答案ξ13解析5-i1+i=(5-i)(1-i)2=4-6i2=2-3i.ቚ5-i1+iቚ=ξ4+9=ξ13.知识点三、复数范围内一元二次方程的解法1.在复数范围内,任何实系数一元二次方程都是有根的,当实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ<0时,其求根公式为x=-𝑏±ඥ-(𝑏2-4𝑎𝑐)i2𝑎2.若复系数方程有实数根,通常将这个根设出,代入方程,利用复数的运算以及复数相等的充要条件进行求解.微思考已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,且a≠0),如何求它的实根?提示①求出判别式Δ=b2-4ac的值,判断根的情况,若Δ>0,方程有两个不相等的实根;若Δ=0,方程有两个相等的实根;若Δ<0,方程无实根.②当Δ=b...
