6.2.4　向量的数量积.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI,第六章,2022,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.(数学抽象、数学运算)2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.(数学运算、直观想象)3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(数学运算、逻辑推理),课前篇 自主预习,激趣诱思,在物理学中,我们知道,一个物体受到力的作用,如果在力的方向上发生一段位移,我们就说这个力对物体做了功.如果力的方向和物体运动的方向相同,功就等于力的大小和位移大小的乘积.而当力的方向与物体运动的方向成角时,其与位移方向平行的分力F1满足|F1|=|F|cos,物体在F1的方向上产生了位移s,因此F对物体做的功W=|F|s|cos.在这个公式中,当为锐角时,W0,称力对物体做了正功;当为钝角时,W0,称力对物体做了负功.也就是说W是一个数量,我们称W为F与s的数量积.本节我们从物体的受力做功入手,学习两个向量的数量积.,知识点拨,知识点一、向量数量积的定义1.向量a与向量b的夹角(1)夹角的定义:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作=b,则AOB=(0)叫做向量a与b的夹角.,确定a,b的夹角时,起点要重合,(2)显然,当=0时,a与b同向;当=时,a与b反向.(3)如果a与b的夹角是,我们说a与b垂直,记作ab.,2.向量的数量积(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,我们把数量|a|b|cos 叫做向量a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab=|a|b|cos.(2)零向量与任一向量的数量积为0.(3)向量数量积的大小与两个向量的长度及其夹角有关.,微拓展两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算,与实数乘实数、数乘向量的乘法有着本质的区别,书写时一定要注意用ab表示,不能用ab或ab表示.,微练习,答案(1)-2(2)8,知识点二、向量a在向量b上的投影向量,微练习(1)若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角是120,与b方向相同的单位向量为e,则向量a在向量b上的投影向量为.(2)若ab=-6,|a|=8,与a方向相同的单位向量为e,则向量b在向量a上的投影向量为.,解析(1)向量a在向量b上的投影向量为|a|cos e=3cos 120,知识点三、平面向量数量积的性质设a,b是非零向量,它们的夹角是,e是与b方向相同的单位向量,则(1)ae=ea=|a|cos.(2)abab=0.(3)当a与b同向时,ab=|a|b|;当a与b反向时,ab=-|a|b|.特别地,aa=|a|2或,(4)|ab|a|b|.,常记作a2,微练习(1)已知|a|=7,则aa=.(2)在ABC中,=0,则ABC为三角形.答案(1)49(2)直角解析(1)aa=|a|2=72=49.,知识点四、平面向量数量积的运算律,名师点析(1)向量数量积的运算不适合约分,即ab=ac b=c.(2)向量数量积运算也不适合结合律,即(ab)c不一定等于a(bc),这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量,而a(bc)表示一个与a共线的向量.,答案(1)A(2)A,课堂篇 探究学习,角度1数量积的简单计算例1已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120,求:(1)ab;(2)a2-b2;(3)(2a-b)(a+3b).分析依据向量的数量积、模、夹角的定义逐一进行计算即可.,(2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.(3)(2a-b)(a+3b)=2a2+5ab-3b2=2|a|2+5|a|b|cos 120-3|b|2=8-15-27=-34.,要点笔记求向量的数量积时,需明确两个关键点:相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.,角度2几何图形中向量数量积的计算,分析利用平行及EA=EB,求出EB=EA=2,将 转化为已知的边、角求解.,答案-1,解析 ADBC,且DAB=30,ABE=30.EA=EB,EAB=30,AEB=120.在AEB中,EA=EB=2,反思感悟 平面向量的数量积在平面几何中的应用(1)解决几何图形中的向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.,例3如图,在ABC中,AB=AC=4,BAC=90,D是边BC的中点,求:,解 如图,连接AD,因为AB=AC=4,BAC=90,所以ABC是等腰直角三角形.又D是BC边的中点,所以ADBC,ABD=45,要点笔记投影向量的求解策略求投影向量要搞清是求哪一个向量在哪一个向量上的投影向量,在正确理解其定义的同时,找准两向量之间的夹角是关键.确定两向量的夹角时,一定要注意“共起点”.,角度1利用数量积求向量的模例4(1)已知向量a,b满足|a|=|b|=5,且a与b的夹角为60,则|2a+b|=.,反思感悟 向量模的求解方法根据数量积的定义aa=|a|a|cos 0=|a|2,得|a|=,这是求向量的模的一种方法.即要求一个向量的模,先求这个向量模的平方,再求它的算术平方根.对于复杂的向量也是如此.例如,求|a+b|,可先求(a+b)2=(a+b)(a+b),再取其算术平方根即为|a+b|.,变式训练2已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,求|a-b|.,解 因为|a+b|=4,所以|a+b|2=42,所以a2+2ab+b2=16.因为|a|=2,|b|=3,所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,代入式得4+2ab+9=16,得2ab=3.又因为(a-b)2=a2-2ab+b2=4-3+9=10,角度2与模有关的最值问题例5(1)若平面向量a,b,c满足:|a|=|c|=1,|b|=2,且c(a-b)=0,则|b-c|的取值范围是(),答案(1)B(2)A,反思感悟 向量模的最值问题的求法涉及向量模的最值问题,一般是把模平方,利用平面向量的数量积运算,把问题转化为关于某个量的函数,进而求出最值.需要掌握向量模的一些简单几何意义:|a|为正值,则说明当表示向量的有向线段的起点确定后,其终点在以起点为圆心,以|a|为半径的圆上运动;若|a+b|=|a-b|,则有ab;若(a+b)(a-b)=0,则|a|=|b|.,变式训练3若两个单位向量a,b的夹角为120,kR,则|a-kb|的最小值为(),答案 B,例6(1)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(2a+b)b,则a与b的夹角为()A.30B.60C.120D.150(2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b的夹角及a与a-b的夹角.,分析(1)将已知条件展开变形后利用数量积的定义求解.(2)可采用数形结合的方法构造平面图形求解.,(1)答案 C,解析 因为(2a+b)b,所以(2a+b)b=0,所以2ab+|b|2=0.设a,b的夹角为,则2|a|b|cos+|b|2=0.又|a|=|b|,所以2|b|2cos+|b|2=0,因此cos=-,从而=120.故选C.,反思感悟 求平面向量夹角的方法(1)求向量的夹角,主要是利用公式cos=求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出ab的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,ab三者之间的关系,然后代入求解.(2)求向量的夹角,还可结合向量线性运算、模的几何意义,利用数形结合的方法求解.,延伸探究本例(1)中,若非零向量a,b的夹角为60,且|a|=|b|,当(a+2b)(ka-b)时,求实数k的值.,解 因为(a+2b)(ka-b),所以(a+2b)(ka-b)=0,即k|a|2+(2k-1)ab-2|b|2=0,利用向量的数量积判断几何图形的形状,A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形,A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.以上都不对,答案(1)B(2)A,方法点睛 能够将2,并熟练地运用向量的减法,是本题获解的关键.依据向量的数量积的有关知识判断平面图形的形状的关键是由已知条件建立向量的数量积、模、夹角等之间的关系,其中移项、平方是常用手段,可以出现向量的数量积及模等信息.,(方法二)ab=bc,b(a-c)=0.又b=-(a+c),(a+c)(a-c)=0.|a|=|c|.,即ABC为等边三角形.,答案 B,2.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30,设与b方向相同的单位向量为e,则a在b上的投影向量为(),答案 C,解析 a在b上的投影向量为|a|cos 30e=4cos 30e=2 e,故选C.,3.已知|a|=10,|b|=12,且(3a)=-36,则a与b的夹角为()A.60B.120C.135D.150,答案 B,解析 由已知得 ab=-36,所以ab=-60.设a,b的夹角为,则有|a|b|cos=-60,即1012cos=-60,于是cos=-,故=120.,4.若向量a与b的夹角为60,|b|=4,(a+2b)(a-3b)=-72,则|a|=()A.2B.4C.6D.12,答案 C解析 因为(a+2b)(a-3b)=-72,所以a2-ab-6b2=-72,即|a|2-|a|b|cos 60-6|b|2=-72,所以|a|2-2|a|-24=0.又|a|0,故|a|=6.,5.已知两个单位向量a,b的夹角为60,若(2a+b)(a+b),则=.,解析(2a+b)(a+b),(2a+b)(a+b)=0,2a2+2ab+ab+b2=0.|a|=|b|=1,且a与b的夹角为60,答案 22,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,