高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI6.2.4向量的数量积第六章2022内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.(数学抽象、数学运算)2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.(数学运算、直观想象)3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(数学运算、逻辑推理)思维脉络课前篇自主预习激趣诱思在物理学中,我们知道,一个物体受到力的作用,如果在力的方向上发生一段位移,我们就说这个力对物体做了功.如果力的方向和物体运动的方向相同,功就等于力的大小和位移大小的乘积.而当力的方向与物体运动的方向成θ角时,其与位移方向平行的分力F1满足|F1|=|F|cosθ,物体在F1的方向上产生了位移s,因此F对物体做的功W=|F||s|cosθ.在这个公式中,当θ为锐角时,W>0,称力对物体做了正功;当θ为钝角时,W<0,称力对物体做了负功.也就是说W是一个数量,我们称W为F与s的数量积.本节我们从物体的受力做功入手,学习两个向量的数量积.知识点拨知识点一、向量数量积的定义1.向量a与向量b的夹角(1)夹角的定义:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.𝑂𝐴ሬሬሬሬሬԦ=a,𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ确定a,b的夹角时,起点要重合(2)显然,当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向.(3)如果a与b的夹角是,我们说a与b垂直,记作a⊥b.π22.向量的数量积(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.(2)零向量与任一向量的数量积为0.(3)向量数量积的大小与两个向量的长度及其夹角有关.微拓展两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算,与实数乘实数、数乘向量的乘法有着本质的区别,书写时一定要注意用a·b表示,不能用a×b或ab表示.微练习(1)已知|a|=2,|b|=ξ2,a与b的夹角是135°,则a·b=.(2)△ABC是边长为4的等边三角形,则𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ·𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ=.答案(1)-2(2)8解析(1)a·b=|a||b|cos135°=2×ξ2×ቀ-ξ22ቁ=-2.(2)𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ·𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ=|𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ||𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ|cos∠BAC=4×4×cos60°=8.知识点二、向量a在向量b上的投影向量1.如图(1),设a,b是两个非零向量,𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=a,𝐶𝐷ሬሬሬሬሬԦ=b,我们考虑如下的变换:过𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ的起点A和终点B,分别作𝐶𝐷ሬሬሬሬሬԦ所在直线的垂线...
