第三节平面向量的数量积与平面向量的应用教材回扣·夯实“四基”题型突破·提高“四能”状元笔记教材回扣·夯实“四基”非零a⊥b|a||b|cosθ【微点拨】(1)判断两个向量夹角时，必须使两个向量的起点重合．(2)两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况．2.平面向量数量积的性质及坐标表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.向量的有关概念几何表示坐标表示模|a|＝_____数量积|a||b|cosθx1x2＋y1y2夹角cosθ＝________________A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的距离a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b|【微点拨】(1)公式a·b＝|a||b|cosθ与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两个向量的数量积的．若已知两个向量的模与夹角，则用公式a·b＝|a||b|cosθ求解；若已知两个向量的坐标，则用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．(2)a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b．3.向量数量积的运算律交换律a·b＝b·a分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c数乘结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)【微点拨】要准确理解数量积的运算律，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量．[常用结论]1．平面向量数量积运算的常用公式：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.3．a与b的夹角θ为锐角，则有a·b>0，反之不成立(θ为0时不成立)；a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(θ为π时不成立)．√×××答案：D6．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(m，2)，且a⊥b，则|a＋b|＝________．题组三易错自纠7．已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：a与b都是非零向量，则“向量a与b的夹角为锐角”⇒“a·b>0”，反之不成立，若a·b>0，a与b可能同向共线．因此“a·b>0”是“向量a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.1题型突破·提高“四能”答案：(1)A(2)[2021·新高考Ⅱ卷]已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝_____．类题通法求两个向量的数量积的三种方法答案：(1)A答案：A2类题通法求平面向量的模的两种方法答案：D解析：由题意知a－b＝(－1，1－m)， a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝－1＋1－m＝0，∴m＝0，∴b＝...
