第4课时利用导数研究不等式的恒成立问题关键能力—考点突破关键能力—考点突破考点一分离参数法求参数范围[综合性][例1][2022·浙江嘉兴高三模拟预测]已知函数f(x)＝－xlnx＋a(x＋1)，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；解析：(1)当a＝0时，f(x)＝－xlnx，(x>0)，f′(x)＝－lnx－1，由f′(x)>0解得0e－1，故f(x)的单调增区间为(0，e－1)，单调减区间为(e－1，＋∞)；当a≠0时，由f(x)＝－xlnx＋a(x＋1)，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－(lnx＋1)＋a，令f′(x)＝－(lnx＋1)＋a＝0解得x＝ea－1，由f′(x)>0解得0ea－1，故f(x)的单调增区间为(0，ea－1)，单调减区间为(ea－1，＋∞)；经验证，a＝0时，f(x)的单调增区间也符合(0，ea－1)，单调减区间也符合(ea－1，＋∞)；综上可知：f(x)的单调增区间为(0，ea－1)，单调减区间为(ea－1，＋∞)；(2)若关于x的不等式f(x)≤2a在[2，＋∞)上恒成立，求a的取值反思感悟(1)用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数的正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.【对点训练】[2022·山东济宁一中高三测试]已知函数f(x)＝x－alnx，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[1，2]时，有f(x)>0成立，求a的取值范围．解析：(1)因为a＝2，所以f(x)＝(x＋1)ex，所以f(0)＝1，f′(x)＝(x＋2)ex，所以f′(0)＝2，所以所求切线方程为2x－y＋1＝0.(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．反思感悟若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围，即研究a取什么范围能使f(x)≥0，如果参数a不易分离，通常对a分类讨论，找到使f(x)≥0的a的取值范围．【对点训练】设函数f(x)＝(1－x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求实数a的取值范围．解析：(2)令g(x)＝f(x)－ax－1＝(1－x2)ex－(ax＋1)，令x＝0，可得g(0)＝0.g′(x)＝(1－x2－2x)ex－a，令h(x)＝(1－x2－2x)ex－a，则h′(x)＝－(x2＋4x＋1)ex，当x≥0时，h′(x)＜0，h(x)在[0，＋∞)上单调递减，故h(x)≤h(0)＝1－a，即g′(x)≤1－a，要使f(x)－ax－1≤0在x≥0时恒成立，需要1－a≤0，即a≥1，此时g(x)≤g(0)＝0，故a≥1.综上...
