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ZPZ空间“角度”问题空间“夹角”问题1.异面直线所成角设直线,lm的方向向量分别为,ablamlamb若两直线所成的角为,则,lm(0)2≤≤cosabab例2090,RtABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1Fxyz解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：Cxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB11111(,0,),(,,1)222FaD所以：11(,0,1),2AF�111(,,1)22BD�11cos,AFBD�1111||||AFBDAFBD��A1AB1BC1C1D1F11304.105342所以与所成角的余弦值为1BD1AF3010①方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角的大小为其中ABlCDlCDABl,,,CDABCDABCDAB,coscosDCLBA2、二面角注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角Lnm将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角如图，向量，则二面角的大小＝〈〉mn，lnm,nm,2、二面角若二面角的大小为,则l(0)cos.uvuv②法向量法例2正三棱柱中，D是AC的中点，当时，求二面角的余弦值。111CBAABC11BCABCBCD1CADBC1B1A1解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz在坐标平面yoz中1CCB设面的一个法向量为BDC1),,(zyxm同法一，可求B(0,1,0))0,41,43(D)22,0,0(1C)0,43,43(DB)22,41,43(1DC∴可取＝(1,0,0)为面的法向量BCC1∴nyxzCADBC1B1A1由得mDBmDC,113120,442CDmxyz�04343yxmDB解得zyx263所以，可取)6,3,3(m二面角的大小等于〈〉CBCD1nm,∴∴cos〈〉=nm,22233nmnm即二面角的余弦值为CBCD1221.已知正方体的边长为2，O为AC和BD的交点，M为的中点（1）求证：直线面MA（2）求二面角的余弦值1111DCBAABCD1DDOB1CMAB1巩固练习B1A1C1D1DCBAOM