1.1.2空间向量的数量积运算[教材要点]要点一空间向量的夹角1．夹角的定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作________．〈a，b〉2．夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝________时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝π2时，两向量________，记作________．π垂直a⊥b状元随笔对空间两个向量夹角的理解，应注意以下几点：(1)两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π.故〈a→，b→〉＝0或π⇔a→∥b→(a→，b→为非零向量)．(2)由于零向量的方向是任意的，因此任意一个向量与零向量的夹角是不确定的，故零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0→与任何向量a→都是共线的，即0→∥a→.(3)对空间任意两个向量a→，b→，有：①〈a→，b→〉＝〈b→，a→〉＝〈－a→，－b→〉＝〈－b→，－a→〉；②〈a→，－b→〉＝〈－a→，b→〉＝π－〈a→，b→〉；③〈AB→，AC→〉＝〈BA→，CA→〉＝π－〈AB→，CA→〉．要点二空间向量的数量积1．定义：已知两个非零向量a，b，则________________叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝________________.|a||b|cos〈a，b〉|a||b|cos〈a，b〉状元随笔对于空间向量的数量积，我们可以从以下几个方面理解．(1)向量a→，b→的数量积记为a→·b→，而不能表示为a→×b→或a→b→.(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定．当θ为锐角时，a→·b→＞0，但当a→·b→＞0时，θ不一定是锐角，因为θ也可能为0；当θ为钝角时，a→·b→＜0，但当a→·b→＜0时，θ不一定是钝角，因为θ也可能为π.2．数量积的运算律：数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ____＝a·____交换律a·b＝____________分配律a·(b＋c)＝____________(a·b)(λb)b·aa·b＋a·c3.空间两向量的数量积的性质：垂直若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0同向：则a·b＝|a|·|b|共线反向：则a·b＝－|a|·|b|模a·a＝________________＝|a|2|a|＝a·a|a·b|≤|a|·|b|向量数量积的性质夹角θ为a，b的夹角，则cosθ＝________|a||a|cos〈a，a〉a·b|a||b|状元随笔(1)对于任意一个非零向量a→，我们把a→|a→|叫做向量a→的单位向量，记作a→0，a→0与a→同方向．(2)当a→≠0→时，由a→·b→＝0不能推出b→一定是零向量，这是因为...
