第八章 矩阵特征值计算.pptVIP免费

§1引言第8章矩阵特征值问题计算物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑物的振动、机械的振动、电磁震荡等)，物理学中的某些临界值的确定。它们都归结为下述数学问题。nnnnnnnnijaaaaaaaaaa212222111211)det()(,)(AIA则称已知定义1.||)1()(12211特征多项式的为AAaaannnnn.)(.(1.1)0)det()(的所有特征值的集合表示的的根称为的特征方程AAAAIA特征值.(1.2)0)(,特征值特征向量的的对应于称为的非零解相应的齐次方程组的为设AxxAIA.210131012的特征值及其特征向量求A例1.1,10)4(,)3()()(,)2()0((1),11xxAAAxxAAxxIAIAAxA即的特征值为且非奇异，则设；即的特征值是；即的特征值为；常数的特征值是向量，则是对应的非零特征的特征值是矩阵设kkkknnppppcccR定理1.)det()2(,1)(tr1(1),),,1(1niiiinianiniAAA则的特征值是矩阵若定理2).()(,3AAATnnR则设定理.)()(,,122211211miiiiimmmmAAAAAAAAAAA则均为方阵其中每个对角块为分块上三角阵设定理4.,)2(;)1(,,1的特征向量是则的特征向量是若有相同的特征值与则使非奇异即为相似矩阵与若APyByBAPPPBABA定理5.,亏损矩阵定义2为，则称个数少于线性无关的特征向量的且其对应的重特征值有一个如果设AAAkkRnn.,,,,,,,)()2(.12121211线性无关对应的特征向量则个不同的特征值有若个线性无关的特征向量具有的充要条件是使非奇异矩阵即可对角化，）（mmnnnnnxxxnmmRnRAAAPPPA定理6则为对称矩阵设对称矩阵的正交约化,)7(nnRA定理；个线性无关的特征向量有的特征值均为实数；nAA)2((1).)(,),,2,1()3(21211的特征向量为对应于向量的列而的特征值为且，使得存在正交矩阵jjnin,,,niuuuuPAAPPP.),,1(},,|||{)2(||1,)(圆盘为半径的为圆心以为复平面上以称，）（令设nGerschgoriraDnizrazzDnijaraiiiiiiiiijinnijCA定义3.),,1(|,|||,)((1))(nijniaaanGerschgoriijiinnij某个圆盘之中一个特征值必属于下列的每则设圆盘定理A...