ch9-5函数的Talor级数& ch9-6函数的幂级数展开式的应用.pptVIP免费

第五节函数的泰勒级数第九章两类问题:在收敛域内和函数求和展开本节内容:一、泰勒(Taylor)级数二、函数展开成幂级数的方法三、小结福州大学2一、泰勒(Taylor)级数)()(0xfxf))((00xxxf200)(!2)(xxxf()00()()!nnfxxxn)(xRn其中)(xRn(在x与x0之间)称为拉格朗日余项.10)1()(!)1()(nnxxnf则在若函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n阶泰勒公式,该邻域内有:1.Taylor公式(回顾)1()()()nnfxSxRx(Taylor多项式)福州大学3如果)(xf在点0x处任意阶可导,则幂级数nnnxxnxf)(!)(000)(称为)(xf在0xx处的泰勒级数.2.定义nnnxnf0)(!)0(称为)(xf的麦克劳林级数.问题nnnxxnxfxf)(!)()(000)(?即f(x)的泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.01012()()(,,,)!nfxnn泰勒系数即(x-x0)的幂级数即x的幂级数或f(x)在该区间内能否展开成泰勒级数？福州大学4定理1各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:.0)(limxRnn证明:()000()(),!nnnfxxxn1()()()nnfxSxRx由泰勒公式:)(0xx设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有()fx)(limxRnn)()(lim1xSxfnn其中knkknxxkxfxS)(!)()(000)(11()lim()nnfxSx()()fxfx0部分和的极限为f(x)福州大学5证10)1()()!1()()(nnnxxnfxR,)!1(10nxxMn),(00RxRxx,),()!1(010收敛在nnnxx,0)!1(lim10nxxnn,0)(limxRnn故.0的泰勒级数可展成点x),(00RxRxx定理2设)(xf在)(0xU上有定义,0M,对),(00RxRxx,恒有Mxfn)()(),2,1,0(n,则)(xf在),(00RxRx内可展开成点0x的泰勒级数.(利用定理1结论来证明)(夹逼准则)福州大学6定理3.(,)xRR若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证:设f(x)所展成的幂级数为则2311234()234;nnfxaaxaxaxnax22234()2!3243(1);nnfxaaxaxnnax334()3!432(1)(2);nnfxaaxnnnax1(0)af)0(!212fa)0(0fa133!(0)af11(0)1!af(0)01(0)0!af()1!(0)nnnaf显然结论成立.同理,若f(x)能展成x-x0的幂级数,则展开式也是唯一的()1()!(1)!nnnfxnanax福州大学7请问:函数处“有泰勒级数”泰勒级...