1第三章空间向量与立体几何§2空间向量与向量运算2.1从平面向量到空间向量2.2空间向量的运算课后篇巩固提升合格考达标练1.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若⃗AB=a,⃗AD=b,⃗AA1=c,则下列向量中与⃗BM相等的向量是()A.-12a+12b+cB.12a+12b+cC.-12a-12b+cD.12a-12b+c答案A解析由题意,⃗BM=⃗BC+⃗CC1+⃗C1M=⃗BC+⃗CC1+12⃗C1A1=⃗BC+⃗CC1−12(⃗AB+⃗BC)=-12⃗AB+12⃗BC+⃗CC1=-12a+12b+c.故选A.2.已知三棱锥A-BCD中,E是BC的中点,则⃗AE−12(⃗AC+⃗AD)=()A.⃗BDB.⃗DBC.12⃗BDD.12⃗DB答案D解析如图,取CD的中点F,连接AF,EF,2 三棱锥A-BCD中,E是BC的中点,∴⃗AE−12(⃗AC+⃗AD)=⃗AE−⃗AF=⃗FE=12⃗DB.故选D.3.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3答案B解析由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,∴(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,∴2k-12=0,∴k=6.4.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(⃗DB+⃗DC-2⃗DA)·(⃗AB−⃗AC)=0,则△ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案B解析因为⃗DB+⃗DC-2⃗DA=(⃗DB−⃗DA)+(⃗DC−⃗DA)=⃗AB+⃗AC,所以(⃗DB+⃗DC-2⃗DA)·(⃗AB−⃗AC)=(⃗AB+⃗AC)·(⃗AB−⃗AC)=⃗AB2−⃗AC2=0,所以|⃗AB|=|⃗AC|,因此△ABC是等腰三角形.5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则⃗A1B·⃗B1C=.答案a2解析⃗A1B·⃗B1C=⃗A1B·⃗A1D=|⃗A1B||⃗A1D|cos<⃗A1B,⃗A1D>=√2a·√2a·cos60°=a2.6.已知|a|=3√2,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,
=135°,m⊥n,则λ=.答案-32解析由m⊥n得m·n=0.m·n=(a+b)·(a+λb)=a2+(λ+1)a·b+λb23=18+(λ+1)×12√2×(-√22)+16λ=6+4λ=0,∴λ=-32.7.如图,已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3,设⃗AB=a,⃗AC=b,⃗AD=c,试用a,b,c表示⃗BG,⃗BN.解⃗BG=⃗BM+⃗MG=⃗BM−14⃗AM=⃗BM−14(⃗AB+⃗BM)=34⃗BM−14a=34×23×12(⃗BC+⃗BD)-14a=14(b-a+c-a)-14a=-34a+14b+14c;⃗BN=⃗AN−⃗AB=23×12(⃗AC+⃗AD)-⃗AB=13b+13c-a.8.在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求OA与BC所成角的余弦值.解因为⃗BC=⃗AC−⃗AB,所以⃗OA·⃗BC=⃗OA·⃗AC−⃗OA·⃗AB=|⃗OA||⃗AC|·cos<⃗OA,⃗AC>-|⃗OA||⃗AB|cos<⃗OA,⃗AB>=8×4×cos135°-8×6×cos120°=-16√2+24,所以cos<⃗OA,⃗BC>=⃗OA·⃗BC|⃗OA||⃗BC|=24-16√28×5=3-2√25,即OA与BC...
