7．2.1直线的一般方程(一)1．方程的图象一般地，对任意一个二元方程f(x，y)＝0，以这个方程的某一组解(x，y)为坐标，有唯一一个点与之对应，所有这些点组成的集合称为这个方程的图象．2．定理1任意一个二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B为实数且不全为0)的图象是与n＝(A，B)垂直的一条直线．3．直线的一般方程(1)方程：Ax＋By＋C＝0；(2)法向量：如果非零向量n与直线l垂直，就称n是l的法向量．1．任意一个二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B，C是常数，且A，B不全为0)的图象是什么？[提示]①Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)的图象是一条直线；②当A＝0，B≠0时，直线垂直y轴；③当A≠0，B＝0时，直线垂直x轴．2．直线Ax＋By＋C＝0的法向量是多少？[提示](A，B)是直线Ax＋By＋C＝0的法向量，这是解决直线方程问题的钥匙．确定二元一次方程的图象和形状试确定2x＋3y－8＝0的图象．[自主解答]方程可写成2(x－4)＋3y＝0的形式．左边的2(x－4)＋3y＝(2,3)·(x－4，y)可看成向量(2,3)与(x－4，y)的内积，而方程就为(2,3)·(x－4，y)＝0，即(2,3)⊥(x－4，y)．n＝(2,3)是一个固定的向量，其坐标由方程2x＋3y－8＝0的一次项系数组成．(x－4，y)＝(x，y)－(4,0)是向量P0P―→的坐标，其中点P(x，y)是图象上任意一点，P0(4,0)是一个固定的点并且在图象上．故2x＋3y－8＝0的图象是点P在过点P0(4,0)且与向量n＝(2,3)垂直的直线．如图：二元一次方程Ax＋By＋C＝0的图象就是过且与向量n＝(A，B)垂直的直线，确定此直线时，可以利用特殊点在直角坐标系内直接画出图象．1．确定4x－5y＋2＝0的图象．解： 4x－5y＋2＝4－5y＝(4，－5)·＝0，∴4x－5y＋2＝0的图象是过点且垂直n＝(4，－5)的直线，如图：求直线方程已知直线的法向量n＝(2,1)并且过点A(2,3)，求直线方程．[自主解答]法一：设P(x，y)是直线上任意一点，则AP·n＝0.∴(x－2，y－3)·(2,1)＝0，即2x＋y－7＝0.法二： 直线的法向量n＝(2,1)，∴设直线方程为2x＋y＋m＝0. 直线过点A(2,3)，∴2×2＋3＋m＝0，∴m＝－7，∴直线方程为2x＋y－7＝0.直线方程Ax＋By＋C＝0的法向量为(A，B)，若已知法向量和定点求直线方程时可有两种方法，一是利用向量的内积；二是将已知点的坐标代入Ax＋By＋C＝0求常数项．2．(1)已知直线的法向量n＝(1，－2)且过点(1,0)，求直线的方程．(2)求与直线2x＋5y＋1＝0平行，且过点(2,3)的直线l的方程．解：(1)设直线方程为x－2y＋m＝0，∴m＝－x＋2y＝－1＋2×0＝－1.∴直线方程为x－2y－1＝0.(2...
