7．4几何问题的代数解法1．解析几何的基本思想方法用代数方法解决几何问题．2．几何的最基本元素点和曲线分别用坐标和方程表示，将点和曲线的几何性质都用坐标和方程的代数性质来表示和处理．1．解析几何是如何研究曲线的？[提示]它是在坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线(包括直线)，通过研究方程的特征来研究曲线的性质．2．运用坐标法应注意哪些问题呢？[提示]用坐标法解决几何问题应注意以下几点：(1)建立恰当的平面直角坐标系；(2)准确地用坐标和方程表示问题中的几何元素；(3)最后应把代数运算结果“翻译”成几何结论.利用坐标法证明几何问题在Rt△ABO中，∠BOA＝90°，|OA|＝8，|OB|＝6，点P为它的内切圆C上任一点，求证：点P到顶点A，B，O的距离的平方和d∈[72,84]．[自主解答]如图所示，以O为原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系xOy，则A(8,0)，B(0,6)，内切圆C的半径r＝＝2.∴圆心坐标为(2,2)．∴内切圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.设P(x，y)为圆C上任一点，点P到顶点A，B，O的距离的平方和为d，则d＝|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－16x－12y＋100＝3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76. 点P(x，y)在圆上，∴(x－2)2＋(y－2)2＝4.∴d＝3×4－4x＋76＝88－4x. 点P(x，y)是圆C上的任意点，∴x∈[0,4]．∴当x＝0时，dmax＝88，当x＝4时，dmin＝72.坐标法的基本步骤第一步：建立坐标系用坐标表示有关量．第二步：进行有关代数运算．第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．1．已知三角形ABC，AD为三角形的中线，求证：2|AB|2＋2|AC|2－|BC|2＝4|AD|2.证明：以BC所在的直线为x轴，以BC的中点D为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设B(－a,0)，C(a,0)，A(x，y)．从而|AB|2＝(x＋a)2＋y2，|AC|2＝(x－a)2＋y2.|BC|2＝4a2，|AD|2＝x2＋y2，所以2|AB|2＋2|AC|2－|BC|2＝4x2＋4y2＝4(x2＋y2)，所以2|AB|2＋2|AC|2－|BC|2＝4|AD|2.求曲线的方程设A(－c,0)，B(c,0)(c＞0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a＞0)，求P点的轨迹．[自主解答]设动点P的坐标为(x，y)，由＝a(a＞0)，得＝a.化简得(1－a2)x2＋2c(1＋a2)x＋c2(1－a2)＋(1－a2)y2＝0.当a≠1时，得2＋y2＝2，表示以为圆心，以为半径的圆．当a＝1时，原方程化简得x＝0，P点轨迹的表示直线，即y轴．到两定点的距离的比为定值的点的轨迹可以是圆，丰富了圆的定义，这种方法为求轨迹的一种基本方法：“解析法”...
