学习方法报社全新课标理念，优质课程资源巧添辅助线妙用中位线定理浙江朱新竹在解与几何图形有关的问题中，若图中涉及多个中点，要注意联想三角形的中位线定理，来实现线段或角的转化．常见的构造中位线的方法有：已知三角形两边的中点，连接这两个中点；已知三角形一边的中点，在另一边上取中点，再连接两个中点；已知三角形一边的中点，过中点作其他两边任意一边的平行线．例1如图1，在△ABC中，D是BC上一点，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点．求证：EG，HF互相平分．图1证明：如图1，连接EH，GH，GF．因为E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，所以AB∥HE∥GF，HG∥BC．所以HG∥EF．所以四边形EFHG是平行四边形．所以EG，HF互相平分．例2如图2，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3．若E，F分别是AD，BC的中点，则EF长的取值范围是（）A．0＜EF＜1B．2＜EF＜3C．0.5＜EF＜2.5D．1＜EF＜5图2解析：如图2，连接AC，取AC的中点H，连接EH，FH．因为E，H分别是AD，AC的中点，所以EH＝CD＝1.5．同理，得FH＝AB＝1．在△EHF中，EH﹣FH＜EF＜EH+FH，即0.5＜EF＜2.5．故选C．例3如图3，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在AB，AC上，且BD＝CE．若BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于点P，Q，求∠APQ的度数．图3解析：如图3，取BC的中点H，连接MH，NH．学习方法报社全新课标理念，优质课程资源因为M，H分别是BE，BC的中点，所以HM∥CE，HM＝CE．同理，得HN∥BD，HN＝BD．因为BD＝CE，所以HM＝HN．所以∠HMN＝∠HNM．因为HM∥CE，所以∠HMN＝∠AQP．同理，得∠HNM＝∠APQ．所以∠APQ＝∠AQP＝×（180°﹣∠A）＝70°．例4如图4，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D，E分别在边AB，AC上．若BD＝4，CE＝3，取DE，BC的中点M，N，则线段MN的长为（）A．2.5B．3C．4D．5图4解析：如图4，过点C作CH∥AB，连接DN并延长交CH于点H，连接EH．因为BD∥CH，所以∠B＝∠NCH，∠ECH+∠A＝180°．因为∠A＝90°，所以∠ECH＝90°．易证得△BDN≌△CHN，所以CH＝BD＝4，DN＝NH．在Rt△ECH中，由勾股定理，得EH＝＝5．因为M，N分别是DE，DH的中点，所以MN＝EH＝2.5．故选A．
