6.2 二次型的标准型.pptVIP免费

1第六章二次型§6.2二次型的标准形§6.2二次型的标准形三、二次型的的基本问题二、矩阵的合同一、二次型的标准形与规范形四、拉格朗日(Lagrange)配方法五、行列对称初等变换法2第六章二次型§6.2二次型的标准形由某个二次型通过非退化线性变换所得到的标准形定义只含有平方项的二次型称为标准形(或法式)：显然，标准形所对应的矩阵一定为对角阵；一、二次型的标准形与规范形特别地，称如下的二次型为规范形：.2222222121qppppzzzzzz对角阵所对应的二次型一定为标准形。称为该二次型的标准型。P167定义6.33第六章二次型§6.2二次型的标准形XAXXfT)(化为标准型。目标求非退化的线性变换,PYX将二次型因此上述目标变为：求可逆矩阵P，使为对角阵。PAPT一、二次型的标准形与规范形由于XAXXfT)()()(YPAPYTT,)(YPAPYTT)()(PYAPYTYPX4第六章二次型§6.2二次型的标准形称对A所进行的运算为对A进行合同变换。PAPT二、矩阵的合同定义对于n阶矩阵A和B，,BPAPT则称A与B合同，称可逆矩阵P为把A变成B的合同变换矩阵。若存在n阶可逆方阵P，使得或者称A合同于B，注矩阵合同是矩阵等价的一种特殊情况。记为。~AB对A进行合同变换使之变为对角阵。目标P168定义6.45第六章二次型§6.2二次型的标准形(会改变特征值)性质若,,则~AB~A.C~BC(3)传递性若则~A,B(4).)()(BrAr若且A对称，则B对称.~AB(5)二、矩阵的合同~AA(1)反身性；~BA~AB若,则(2)对称性；(不改变秩)(不改变对称性)二次型的秩二次型所对应的矩阵的秩称为该二次型的秩。P168P1746第六章二次型§6.2二次型的标准形三、二次型的的基本问题二次型能否经过非退化线性变换一定化为标准形?问题一证明(略)定理任何一个给定的二次型都可经过非退化线性变换化为换句话说，对n阶对称阵A，总存在n阶可逆阵P，使得标准形(或规范型)。其中，.0idr为A的秩，P168定理6.1P168定理6.27第六章二次型§6.2二次型的标准形三、二次型的的基本问题拉格朗日(Lagrange)配方法。行列对称初等变换法；常见的方法正交变换法。问题二如何化二次型为标准形?二次型能否经过非退化线性变换一定化为标准形?问题一针对二次型针对二次型所对应的对称阵P1698第六章二次型§6.2二次型的标准形四、拉格朗日(Lagrange)配方法基本公式基本原理2122212212)(xxxxxx3231212322212321222)(xxxxxxxxxxxx将二次型中含有某同一个变量的所有“项”放在一起，逐步减少非完全平...