１５６第七章曲线、曲面积分１．第一类曲线积分２．第二类曲线积分３．第一类曲面积分４．第二类曲面积分５．曲线、曲面积分的应用第一节第一类曲线积分１．第一类曲线积分的计算计算第一类曲线积分的基本思路是将曲线积分转化为定积分．设ｆ（ｘ，ｙ）在曲线弧Ｌ上有定义且连续，（１）曲线Ｌ由参数方程表示的情形：Ｌ的参数方程为ｘ＝φ（ｔ），ｙ＝ψ（ｔ）（α≤ｔ≤β）．若φ（ｔ），ψ（ｔ）在［α，β］上具有一阶连续导数，且［φ′（ｔ）］２＋［ψ′（ｔ）］２≠０，则曲线积分∫Ｌｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ存在，且∫Ｌｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝∫βαｆ（φ（ｔ），ψ（ｔ））［φ′（ｔ）］２＋［ψ′（ｔ）］２ｄｔ．（２）曲线Ｌ由ｙ＝ψ（ｘ）（ｘ０≤ｘ≤ｘ１）表示的情形：可以把这种情况看作特殊的参数方程：ｘ＝ｘ，ｙ＝ψ（ｘ）（ｘ０≤ｘ≤ｘ１），从而有∫Ｌｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝∫ｘ１ｘ０ｆ（ｘ，ψ（ｘ））１＋［ψ′（ｘ）］２ｄｘ．（３）曲线Ｌ由ｘ＝φ（ｙ）（ｙ０≤ｙ≤ｙ１）表示的情形：∫Ｌｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝∫ｙ１ｙ０ｆ（φ（ｙ），ｙ）１＋［φ′（ｙ）］２ｄｙ．１５７（４）曲线Ｌ由极坐标形式ｒ＝ｒ（θ）（α≤θ≤β）表示的情形：∫Ｌｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝∫βαｆ（ｒ（θ）ｃｏｓθ，ｒ（θ）ｓｉｎθ）［ｒ（θ）］２＋［ｒ′（θ）］２ｄθ．（５）曲线Γ为空间曲线弧的情形：设空间曲线弧Γ的参数方程为ｘ＝φ（ｔ），ｙ＝ψ（ｔ），ｚ＝ω（ｔ）（α≤ｔ≤β），则∫Γｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｓ＝∫βαｆ（φ（ｔ），ψ（ｔ），ω（ｔ））［φ′（ｔ）］２＋［ψ′（ｔ）］２＋［ω′（ｔ）］２ｄｔ．在利用参数方程计算前，一般可以将曲线方程代入被积函数以简化计算．２．第一类曲线积分的对称性平面上的第一类曲线积分的对称性与二重积分的对称性类似；空间中的第一类曲线积分的对称性与三重积分的对称性类似．１（１９８９年卷Ⅰ试题）设平面曲线Ｌ为下半圆ｙ＝－１－ｘ２，则曲线积分∫Ｌ（ｘ２＋ｙ２）ｄｓ＝．１５８第二节第二类曲线积分题型Ⅰ：利用参数方程计算第二...
