２１４第一章行列式１．数字型行列式２．抽象型行列式第一节数字型行列式１．按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即Ｄ＝ａｉ１Ａｉ１＋ａｉ２Ａｉ２＋…＋ａｉｎＡｉｎ（ｉ＝１，２，…，ｎ）或Ｄ＝ａ１ｊＡ１ｊ＋ａ２ｊＡ２ｊ＋…＋ａｎｊＡｎｊ（ｊ＝１，２，…，ｎ）．在ｎ阶行列式中，把元素ａｉｊ所在的第ｉ行和第ｊ列划去后，留下来的ｎ－１阶行列式叫做元素ａｉｊ的余子式，记作Ｍｉｊ，而ａｉｊ的代数余子式２１５Ａｉｊ＝（－１）ｉ＋ｊＭｉｊ．２．行列式的基本性质（１）行列式与它的转置行列式相等，即Ａ＝ＡＴ．（２）交换行列式的两行（列），行列式变号．推论：若行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零．（３）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数ｋ，则所得新行列式为原行列式的ｋ倍．推论：若ｎ阶行列式Ａ每行（或每列）均乘以ｋ，则所得新行列式等于ｋｎＡ．（４）若行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．（５）若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第ｉ行的元素都是两数之和：Ｄ＝ａ１１ａ１２…ａ１ｎ︙︙︙ａｉ１＋ａ′ｉ１ａｉ２＋ａ′ｉ２…ａｉｎ＋ａ′ｉｎ︙︙︙ａｎ１ａｎ２…ａｎｎ，则Ｄ等于下面两个行列式之和：Ｄ＝ａ１１ａ１２…ａ１ｎ︙︙︙ａｉ１ａｉ２…ａｉｎ︙︙︙ａｎ１ａｎ２…ａｎｎ＋ａ１１ａ１２…ａ１ｎ︙︙︙ａ′ｉ１ａ′ｉ２…ａ′ｉｎ︙︙︙ａｎ１ａｎ２…ａｎｎ．（６）把行列式的某一行（列）的各元素乘同一个数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变．２１６３．范德蒙德行列式：形如Ｖｎ＝１１…１ｘ１ｘ２…ｘｎｘ２１ｘ２２…ｘ２ｎ︙︙︙ｘｎ－１１ｘｎ－１２…ｘｎ－１ｎ的ｎ阶行列式被称为范德蒙德行列式，Ｖｎ＝ｎ≥ｉ＞ｊ≥１（ｘｉ－ｘｊ）．不难发现，若存在ｘｉ＝ｘｊ（ｉ≠ｊ），则Ｖｎ＝０，否则Ｖｎ≠０．数字型行列式的计算方法（１）按行（列）展开计算．（２）利用初等变换，将行列式化为较简单的形式，然后计算．下面我们介绍一类特殊的行列式的计算方法．此类行列式的特点是：各行（或各列）元素之和相等．对此类行列式，可以考虑将各列都加到第一列（或各行都加到第一...
