第一节 原函数与不定积分的概念(1).pptVIP免费

1例，xxcos)(sinxsin是xcos的原函数.，？23)(x第一节原函数与不定积分的概念一、原函数如果在某区间I内)()(xfxF,则称I内F(x)为f(x)的一个原函数.定义不定积分又称反导数,它是求导运算的逆运算.，233)(xx，233)1(xx，233)(xCx.本章所讲的内容就是寻求函数的原函数。2原函数存在定理：如果函数)(xf在区间I内连续，简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否存在？那么在区间I内存在可导函数)(xF，使Ix，都有)()(xfxF.(2)是否唯一？因此初等函数在其定义区间内都有原函数。(但原函数不一定是初等函数)()()xaFxfxdxaI下一章我们将证明：，其中.3唯一性？)()(])()([xGxFxGxF0)()(xfxf（1）若)(xF是)(xf的一个原函数,则对任何常数C,CxF)(也是)(xf的一个原函数；（2）设)(xF是)(xf的一个原函数,则)(xf的任一个原函数)(xG与)(xF最多相差一个常数,即CxFxG)()(.综合(1)(2),如果)(xf有一个原函数)(xF,则CxF)(是)(xf的所有原函数的一般表达式.说明：.)()(CxFxG所以4二、不定积分积分常数积分号被积函数CxFxxf)(d)(被积表达式积分变量若)(xF是)(xf的一个原函数,则称CxF)(为)(xf的不定积分,记为.)()d(CxFxxf定义5例1求sind.xx解(cos)sin,xxsindcos.xxxC6解例2求.d112xx,11)(arctan2xx.arctand112Cxxx221(arccot)11(arccot),1xxxx21darccot1xxCxarccot.2xCarccot.2xC'arccot.xC7，若1.||lndCxxx则说明：,0xxx1)(ln,0x)(1xx.)ln(dCxxx,1x例3求解.dxx.1d1Cxxx则，若1])[ln(x;lnd1Cxxx8不定积分的几何意义：xyo设F(x)是f(x)的一个原函数，则方程y=F(x)的图形是直角坐标系Oxy中的一条曲线，称为f(x)的一条积分曲线.将这条曲线沿y轴向上或向下移动长度为|C|的距离，就可以得到f(x)的无穷多条积分曲线，它们构成一个曲线族，称为f(x)的积分曲线族，其方程为xxfyd)(CxFy)(或9它的特点是：在横坐标相同的点处，各积分曲线的切线有相同的斜率，都是f(x)，即各切线平行。xyo有时需要求f(x)通过定点),(00yx的积分曲线，即满足条件00)(yxy的原函数，这个条件一般称为初始条件，由这个条件可以唯一确定常数C1023dyxx3,xC3,C得33.yx所求积分曲线为1,2xy将代入，例4解设一曲线经过点(1,2)，且其上任一点(x,y)处的切线的斜率为23x，求此曲线方程曲线。xyo1()()yfxyx用第九章的微分方程来表示：设23(1)2dyxdxy