第一节 级数的概念和性质√.pptVIP免费

1第八章无穷级数2无穷级数是高等数学的一个重要组成部分,它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具.一、级数的基本概念计算圆的面积R正六边形的面积正十二边形的面积1a21aa正形的面积n23naaa21naaaA21即第一节级数的概念和性质31、级数的定义:nnnuuuuu3211—(常数项)无穷级数一般项部分和数列niinnuuuuS121级数的部分和,11uS,212uuS,,3213uuuS,21nnuuuS4当n时,如果级数1nnu的部分和数列nS有极限S,如果数列}{nS没有极限,则称无穷级数1nnu发散.2、级数的收敛与发散:即SSnnlim,则称无穷级数1nnu收敛,这时极限S叫做级数1nnu的和，并写成Sunn15解，如果1q12nnaqaqaqaS，qaqan1,1时当q0limnnqqaSnn1lim,1时当qnnqlimnnSlim收敛发散例1讨论等比级数(几何级数)nnnaqaqaqaaq20)0(a的收敛性.6，如果1q,1时当q,1时当qnaSn发散aaaa级数变为,lim不存在nnS发散综上所述,发散时当收敛时当,1||,1||0qqaqnnqa17公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍,也永远也追不上乌龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然前于他10米,…,如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？齐诺悖论—阿基里斯与乌龟8如果我们从级数的角度来分析这个问题,齐诺的这个悖论就会不攻自破.设乌龟的速度为v,则阿基里斯的速度为10v,他跑完1000米所化的时间为vv100101000,在这段时间里,乌龟又爬了100100vv米,阿基里斯为跑完这段路又花费时间vv1010100,此时乌龟又在他前面10米处,……,依次类推,阿基里斯需要追赶的全部路程为101001000这是一个公比为1101q的几何级数,易求得它的和为，911111910000101110009也就是说,如果赛程比这个距离短,则乌龟胜；如...