第一节 二次型.pptVIP免费

1第五章2本章讨论把一个n元二次齐次多项式化为仅含有完全平方项的和的形式，并研究有关的性质。3第一节基本概念定义一、二次型及其矩阵称为一个(n元)二次型.的二次齐次多项式个变量含有nxxxn,,,21),,,(21nxxxfnnxxaxxaxa2232232222222nnnxannxxaxxaxxaxa11311321122111222本书只讨论实二次型，即系数全是实数的二次型。4),,,(21nxxxfnnxxaxxaxa2232232222222nnnxannxxaxxaxxaxa11311321122111222由于ijjixxxx，具有对称性，若令ijjiaa，ji，则ijjijiijjiijxxaxxaxxa2，ji，于是上述二次型可以写成如下求和形式5nnxxaxxaxxaxa11311321122111nnxxaxxaxaxxa2232232222122122211nnnnnnnxaxxaxxa,11ninjjiijxxa),,,(21nxxxfnnxxaxxaxa2232232222222nnnxannxxaxxaxxaxa11311321122111222),,,(21nxxxf6ninjjiijnxxaxxxf1121),,,(记,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA,21nxxxX则上述二次型可以用矩阵形式表示为,),,,(21AXXxxxfTnA称为二次型的矩阵。),,,(21nxxxf7A的秩称为该二次型的秩。,),,,(21AXXxxxfTnA称为二次型的矩阵。),,,(21nxxxfA是一个实对称矩阵。事实上，由一个实对称矩阵也可构造唯一的实二次型，也就是说，实二次型与实对称矩阵是互相唯一确定的，所以，研究二次型的性质可以转化为研究A所具有的性质。8例1设二次型3131212322213216422),,(xxxxxxxxxxxxf求二次型的矩阵A和二次型的秩。解,A211122331132311212A710410311,100410311所以r(A)=3，即二次型的秩等于3。9例2求二次型2332211321)(),,(xaxaxaxxxf的矩阵A和二次型的秩，解其中321,,aaa不全为零。2332211321)(),,(xaxaxaxxxf2321321),,(aaaxxx,),,(),,(321321321321xxxaaaaaaxxx所以二次型f的矩阵为),,(321321aaaaaaA,232313322212312121aaaaaaaaaaaaaaa.1)(rA10二、线性变换dcybxyax222...