第五节 有理函数的积分(1).pptVIP免费

1mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(其中m、n都是非负整数；naaa,,,10及mbbb,,,10都是实数，并且00a，00b.第五节有理函数的积分一、真分式的分解设)(),(xQxP为多项式,称)()(xQxP为有理函数.2假定分子与分母之间没有公因式(既约分式).,)1(mn有理函数是真分式；,)2(mn有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例1123xxx.112xx要点将有理函数化为部分分式之和.以下只考虑真分式的积分.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(3（1）分母中若有因式，则分解后有)(axaxA真分式化为部分分式之和的一般规律：（2）分母中若有因式，则分解后有)2()(kaxkkkaxAaxAaxA)()(221其中kAAA,,,21都是常数.4（3）分母中若有因式，其中)(2qpxx则分解后有042qpqpxxNMx2kkkqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxM)()(22222211其中iiNM,都是常数),,2,1(ki.（4）分母中若有因式，)2()(2kqpxxk，则分解后有042qp其中5真分式化为部分分式之和的待定系数法6532xxx)3)(2(3xxx,32xBxA)2()3(3xBxAx),23()(BAxBA,3)23(,1BABA,65BA6532xxx.3625xx例162)1(1xx,)1(12xCxBxA，CxxBxxA)1()1(12代入特殊值来确定系数CBA,,,0x取1A1C.)1(11112xxx2)1(1xx例2,1x取比较2x的系数,,0BA.1B7例3令1x,得1A；比较4x的系数,得1B；3x的系数：0BC,得1C；常数项：ECA2,得0E；x的系数：EDCB2,得2D,22)1)(1(22xxx，222)1(11xEDxxCBxxA，)1)(()1)(1)(()1(22222xEDxxxCBxxAx.)1(21111)1)(1(2222222xxxxxxxx8真分式可分为以下四种类型的分式之和：axA)1()2()()2(naxAn)04()3(22xxBAx)2)(04()()4(22nxxBAxn这四类分式均可积分,且原函数为初等函数.因此,有理函数的原函数都是初等函数.9例4xxxd)1(12xxxxd])1(1111[2.111lnCxxx例5xxxxd6532xxxd)3625(.3ln62ln5Cxx10例6xxxxd)1)(1(2222xxxxxx]d)1(21111[222...