第五节 函数的幂级数展开式.pptVIP免费

1第五节函数的幂级数展开式nnnxaxf0)(求幂级数,在其收敛域内以f(x)为和函数—函数的幂级数展开。问题:2.如果能展开,是什么?na3.展开式是否唯一?1.f(x)在什么条件下才能展开成幂级数?nnnxxaxf)()(00或麦克劳林展开式泰勒展开式2函数)(xf能展开成幂级数0nnnxa的必要条件是)(xf在点0x处有任意阶导数，且系数定理,)0(0fa,,!1)0(1fa,!2)0(2fa,!)0()(nfann证设函数)(xf能展开成幂级数0nnnxa，于是存在0r使得22100)(xaxaaxaxfnnn)||(rx3这表明)(xf是幂级数0nnnxa在),(rr内的和函数，在上式中令0x，即得在0)0(af.利用幂级数的和函数在其收敛区间内可任意阶求导的性质，又可得出)(xf在),(rr内有任意阶导数，11)(nnnxnaxf)||(rx)||(rx22100)(xaxaaxaxfnnn1!1)0(af!1)0(1fa411)(nnnxnaxf)||(rx)||(rx22100)(xaxaaxaxfnnn!1)0(1fa22)1()(nnnxannxf)||(rx2!2)0(af!2)0(2fa33)2)(1()(nnnxannnxf)||(rx3!3)0(af!3)0(3fa5)||(rx22100)(xaxaaxaxfnnn归纳可得，!)0()(kfakk)2,1,0(k即得,)0(0fa,,!1)0(1fa,!2)0(2fa,!)0()(nfann6函数)(xf能展开成幂级数0nnnxa的充分条件是定理,0)(limxRnnDx其中D是幂级数0)(!)0(nnnxnf的收敛域，2!2)0(!1)0()0()()(xfxffxfxRnnnxnf!)0()(称为n阶余项.71.求出0x处的函数值及各阶导数值)0(f,)0(f,)0(f,),0(,)(nf；0)(!)0(nnnxnf函数f(x)展开成幂级数具体步骤：2.写出幂级数，并求其收敛域D.0)(!)0(nnnxnf3.考察0)(limxRnx在D上是否成立。0)(!)0()(nnnxnfxf)(Dx如果是,则f(x)在D上可展开成麦克劳林级数8基本展开式,!5!3!)12()1(sin53012xxxnxxnnn,!!21!e20nxxxnxnnnx),(x),(x,!4!21!)2()1(cos4202xxnxxnnn),(x,32)1()1ln(3211xxxnxxnnn]1,1(x9收敛域为:0:]1,1[01:]1,1(1:)1,1(2!2)1(1)1(xxxnxnn!)1()1((n不为正整数)此外还有,110...