苏州大学2000研究生入学考试——高等代数1．（14分）设f(x),g(x),h(x)都是数域P上的一元多项式，并且满足：（1）（2）证明：能整除。证明：（3）将（3）带入（1）中，得到：．注：本题也可以把g,h作为未知量对线性方程求解，用克莱姆法则导出结果。2．（14分）设A是nr的矩阵，并且秩（A）=r，B，C是rm矩阵，并且AB=AC，证明：B=C。证明：，即方程．3（15分）求矩阵的最大的特征值，并且求A的属于的特征子空间的一组基。解：，当时，求出线性无关的特征向量为，则是的特征子空间的一组基．４(14分)设．解：不妨设则矩阵对应的特征值为：故５(14分)设A,B都是实数域R上的矩阵,证明:AB,BA的特征多项式相等．证明：要证明AB,BA的特征多项式相等，只需证明：利用构造法，设，令，，两边取行列式得．（１），两边取行列式得．（２）由（１），（２）两式得＝．（３）上述等式是假设了，但是（３）式两边均为的n次多项式，有无穷多个值使它们成立（），从而一定是恒等式．注：此题可扩展为Ａ是矩阵，Ｂ是矩阵，ＡＢ，ＢＡ的特征多项式有如下关系：，这个等式也称为薛尔佛斯特（Sylvester）公式．６．(14分)设A是实对称矩阵,证明：是一个正定矩阵．证明：A是实对称矩阵，则Ａ的特征值均为实数．设为Ａ的任意特征值，则的特征值为．故是一个正定矩阵．７．(15分)设A是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换,设但是．证明：是Ｖ的一组基．并且求线性变换Ａ在此基下的矩阵，以及Ａ的核的维数．证明：令．（１）用左乘（１）式两边，得到．由于，，带入（１）得．（２）再用左乘（２）式两端，可得．这样继续下去，可得到．线性无关．＝．Ａ在此基下的矩阵为，可见,,即A的核的维数为1．
