第四节 无穷小(量)和无穷大(量)(1).pptVIP免费

1一、无穷小(量)定义以零为极限的函数(或数列)称为无穷小(量).例如,,0sinlim0xx.0sin时的无穷小是当函数xx,01limxx.1时的无穷小是当函数xx,0)1(limnnn.})1({时的无穷小是当数列nnn注:1.无穷小是变量,不能与很小的数混为一谈;3.零是唯一可以作为无穷小的数.2.称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势.第四节无穷小(量)和无穷大(量)2无穷小和极限的关系:定理变量y以A为极限的充分必要条件是：变量u可以表示为A与一个无穷小量的和。即limuAuA，其中是无穷小。证略.定理表明：极限概念可以用无穷小量概念来描述.无穷小量的性质：1°有限多个无穷小量之和仍是无穷小量；定理2°无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；3°有限多个无穷小量之积仍是无穷小量。3例1.sinlimxxx求解,1,为无穷小时当xx.sin是有界函数而x.0sinlimxxxxxysin错误解法:01sinlimlim1sinlim000xxxxxxx.4xxxarctanlim)15cos(7lim232xxxxx例2.0例3.05二、无穷大(量)定义如果变量u在其变化过程中|u|无限增大，则称u为无穷大(量)，记作uulim或精确定义：：)(lim0xfxx,0,0M.)(Mxf有,00时当xx1.无穷大量是一个变量，不可与很大很大的数混为一谈；2.称函数是无穷大量，必须指明其自变量的变化趋势。注:6证明xx1lim0.0M,欲使Mx1,即Mx1,当x0时,恒有Mx1.所以取M1,证得证.xoy例47无穷大量与无界变量的关系(1)无穷大量显然是无界变量；(2)但无界变量不一定是无穷大量。nann])1(1[}{：例如数列当n时,}{na是无界的,但),2,1(nan不是无穷大量.再如，函数xxsin，当x时是无界的,但它并不是无穷大量。8三、无穷大量与无穷小量的关系)(1xf为无穷小;反之,若)(xf为(非零)无穷小,则)(1xf为无穷大.定理在自变量的同一变化过程中,如果)(xf为无穷大,则意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.例5)1(limnnnnnn11lim)1lim(）（因为nnn.09例6.)0(limaaaaannnnn求解当1a时，因为0nnaa，故原极限为0；,11limlim22nnnnnnnnaaaaaa当1a时，,0lim2nna因为所以原极限为-1；当1a时，nnnnnnnnaaaaaa2211limlim,1所以.1,11,010,1limaaaaaaannnnn1...