第三节 实对称矩阵的对角化.pptVIP免费

1第三节2并非所有方阵都可对角化,但是实对称矩阵必可对角化.为了讨论实对称矩阵的有关性质，需要研究向量内积和正交的概念和性质。3定义的内积),(定义为：两个n维向量TnTnbbbaaa),,,(,),,,(2121nnbababa2211),(向量的内积具有如下基本特性：(1)),(),(证略.(2)),(),(),((3)),(),(kk（k为实数）(4)0),(，0),(当且仅当。.T一、向量的内积,正交和长度4向量长度的性质:(1)0，0当且仅当0；记),(，称为向量的长度。由定义可知.22221naaa如果1，则称为单位向量。定义(2)kk,（k为实数）例1证证明：对任意非零向量，1为单位向量。11.11称为的单位化向量。5二、正交向量组和正交矩阵当0),(时，称向量与正交。定义显然零向量与任何向量都正交。☎☎n维基本单位向量组是两两正交的。n,,,21,)0,,0,1(1T,)0,,1,0(2T,)1,,0,0(Tn,显然有,0),(ji),1,,(njiji6设)3,0,1(，)1,2,1(,求一个3维单位向量，使它与向量,都正交。例2解设),,(321xxx，则02),(03),(32131xxxxx121301A,210301求得通解为)1,2,3(k，特别取1k，即得)1,2,3(，将向量单位化，即得所求向量为.)141,142,143(17定义s,,,21若非零向量两两正交，则称之为正交向量组。定理正交向量组必线性无关。证设s,,,21是正交向量组，,0021111T由.01k从而有,02skk同理可得.,,,21线性无关故s使设有数,,,,21skkk,02211sskkk得左乘上式两端以,1T,0111Tk8施密特正交化方法施密特正交化方法是将一组线性无关的向量s,,,21转化为与之等价的一组正交向量组的方法，具体程序如下：,11,),(),(1111222,),(),(),(),(222231111333.),(),(),(),(),(),(11122221111ssssssss可以证明，s,,,21是一组两两正交的向量，且与s,,,21等价。证略。9例3解用施密特正交化方法，将下列向量组正交化：TTT)1,1,5,3(,)4,0,1,1(,)1,1,1,1(321,)1,1,1,1(11T...