第二节(3).PPTVIP免费

引例引例主要内容主要内容特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质第二节特征值与特征第二节特征值与特征向量向量方程组等问题，也都要用到特征值的理论.工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题.数学中诸如方阵的对角化及解微分一、引一、引例例.1110123201321a,a,a,A作下面的乘法得.113301232211Aa,aAa,aAa引例引例设只是原像的倍数.我们可以从映射的角度看待上述运算，即由二阶实矩阵A定义了一个由全体二元实向量集合R2到R2自身的一个映射，它的对应法则aR2AaR2.在此映射下，二元实向量a1，a2的像Aa1，Aa2为：向量有些什么性质？从几何上看，像与原像在一条直线上，而向量a3的像Aa3就不具有这个性质.我们把a1，a2称为矩阵A的特征向量，数-1与3分别称为a1，a2对应的特征值.那么，是否任何一个方阵都有特征值与特征向量？特征值与特征题.这是本节要讨论的主要问量量.二、特征值与特征向量的概念二、特征值与特征向量的概念定义定义66设设AA是是nn阶方阵，如果数阶方阵，如果数和和nn维非零列向量维非零列向量xx使关系式使关系式Ax=Ax=xx（（11））成立，成立，那么，这样的数那么，这样的数称为方阵称为方阵AA的的特征值特征值，非零向量非零向量xx称为称为AA的对应于特征值的对应于特征值的的特征特征向向1.1.定义定义|A-E|=0，.0212222111211nnnnnnaaaaaaaaa即（1）式也可写成(A-E)x=0，（2）这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是系数行列式值.上式是以为未知数的一元n次方程，称为方阵A的特征方程特征方程.其左端|A-E|是的n次多项式，记作f(),称为方阵A的特征多项特征多项式式.显然，A的特征值就是特征方程的解.特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，n阶方阵A有n个特征2.2.特征值的性质特征值的性质(2)(2)1122······nn=|=|AA|.|.设设11,,22,···,,···,nn是是nn阶方阵阶方阵AA=(=(aaijij))的的nn个个特征值特征值((kk重特征值算作重特征值算作kk个特征值个特征...