向量空间维数的定义向量空间维数的定义主要内容主要内容向量在基下的坐标向量在基下的坐标向量的运算向量的运算第二节维数、基与坐标第二节维数、基与坐标向量空间同构向量空间同构在第四章中,我们用线性运算来讨论n维数组这些概念和性质.性空间中的元素仍然适用.以后我们将直接引用有关的性质只涉及线性运算,因此,对于一般的线组合、线性相关与线性无关等等.这些概念以及向量之间的关系,介绍了一些重要概念,如线性一、向量空间维数的定义一、向量空间维数的定义在第四章中我们已经提出了基与维数的概念,的主要特性,特再叙述如下.这当然也适用于一般的线性空间.这是线性空间定义定义22在线性空间在线性空间VV中中,,如果存如果存在在nn个元个元记作Vn.维数为n的线性空间称为nn维线性空维线性空间间,个个基基,,nn称为线性空间称为线性空间VV的的维维数数..那么那么,,11,,22,···,,···,nn就称为线性空间就称为线性空间VV的一的一线性表示线性表示..(ii)(ii)VV中任一元素中任一元素总可由总可由11,,22,···,,···,nn(i)(i)11,,22,···,,···,nn线性无关线性无关;;素素11,,22,···,,···,nn满足满足::若知1,2,···,n为Vn的一个基,则Vn,}R,,|{12211nnnnxxxxxV这就较清楚地显示出线性空间Vn的构造.并且这组数是唯一的.=x11+x22+···+xnn,何Vn,都有一组有序数x1,x2,···,xn,使若1,2,···,n为Vn的一个基,则对任可表示为二、向量在基下的坐标二、向量在基下的坐标反之,任给一组有序数x1,x2,···,xn,总有组有序数来表示元素.于是我们有之间存在着一种一一对应的关系,因此可以用这(x1,x2,···,xn)T这样,Vn的元素与有序数组唯一的元素=x11+x22+···+xnnVn.定义定义33设设11,,22,···,,···,nn为线性为线性空间空间VVnn=(x1,x2,···,xn)T.11,,22,···,,···,nn下的下的坐标坐标,并记作xx11,,xx22,···,,···,xxnn这组有序数就称为元素这组有序数就称为元素在基在基==xx1111++xx2222+···++···+xxnnnn,,有序数有序数xx11,,xx22,···,,···,xxnn,,使使的一个基的一个基..对于任一元素对于任一元素VVnn,,总有且仅有一总有且仅有一组组例例66在线性空间P[x]4中,p1=1,p2=x,p3=x2,p4=x3,p5=x4就是它的一个基.任一不超过4次的多项式...
