第二节 正项级数.pptVIP免费

1第二节正项级数定义：，中各项均有如果级数01nnnuu这种级数称为正项级数.定理正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列}{ns有上界.这是因为0nu,所以}{nS单调不减,因此它有极限当且仅当它有上界.2且),2,1(nvunn,证明,1nkknuS设,nnvu.1收敛nnu均为正项级数，和设11nnnnvu则(1)若1nnv收敛,则1nnu收敛；(2)若1nnu发散，则1nnv发散.比较审敛法定理,1nkknvT,nnTS(1)),2,1(n因为1nnv收敛，所以}{nT有上界M，,MTSnn3且),2,1(nvunn,证明均为正项级数，和设11nnnnvu则(1)若1nnv收敛,则1nnu收敛；(2)若1nnu发散，则1nnv发散.比较判别法定理(2)是(1)的等价命题.从某项起,恒有nnkvu,)0(k.注：定理的条件可放宽为：4判断级数121sinnn的收敛性.因为nn2121sin0,而121nn收敛,解例1所以原级数收敛.5讨论p-级数11npn的收敛性(0p).oyx)1(1pxyp1234当1p时,而调和级数11nn发散,故原级数发散；当1p时,用积分判别法:当nxn1时,ppxn11,于是有nnppnxn1d1nnpxx1d解例2，nnp116故当1p时,11npn收敛.nnppnxn1d1nnpxx1d所以nkkkpnkpxxk212d11xxnpd1111111pnp,11p于是,11111pkSnkpn7总结:发散收敛10111ppnnp重要参考级数:几何级数,p-级数,调和级数.8因为nn111,而21nn发散,所以原级数发散.（但211nn如何？）因为22111nn,而221nn收敛,所以原级数收敛.（但2211nn如何？）解例3211nn例41211nn解9,设1nnu与1nnv都是正项级数如果,limlvunnn,当时;则(1)两级数有相同的敛散性l0(3)当时,若1nnv发散,则1nnu发散;l(2)当时，若收敛,则收敛;0l1nnv1nnu比较判别法的极限形式:10证明,lim)1(lvunnn由,02l取,N,时当Nn2||llvunn)(232Nnvluvlnnn即由比较判别法的推论,可知两级数有相同的敛散性.,22llvullnn11由极限定义,取1,存在自然数N,当Nn时,恒有1nnvu,即nnvu,当1nnv收敛时,1nnu也收敛。证明,0lim)2(nnnvu若由比较判别法可知,(注意：反之不对)；,lim)3(nnnvu若,0limnnnuv则由(...