第二节 一阶微分方程(1).pptVIP免费

1第二节2一、可分离变量的方程xxfyygd)(d)(xxfyygd)(d)(设函数)(yG和)(xF是依次为)(yg和)(xf的某个原函数,CxFyG)()(为微分方程的通解.两边积分,为可分离变量的方程.称则3求方程22ddxyxy的通解.解分离变量,xxyyd2d2,积分Cxy21,所以通解为Cxy21.例14求方程xyxy2dd的通解.解分离变量,xxyyd2d,积分Cxy2||ln,或写为2eexCy,记CCe1,则通解为2e1xCy.可简写为：分离变量,xxyyd2d,积分Cxylnln2,则通解为2exCy.例25求方程2cos2cosddyxyxxy的通解.2cos2cosddyxyxxy,2sin2sin2yx,d2sin2sin2dxxyy2cot2csclnyy为所求通解.解Cx2cos2例36求方程0d)ee(d)ee(yxyyxxyx的通解.解分离变量:1edee1dexxyyxy,两边积分:Cxyln)1eln()1eln(,即所求通解为Cyx)1e)(1e(.例47求方程)1(122xxyyy满足2)1(y的特解.解例5xxxyyyd)1(1d122分离变量，两边积分)1ln(212y222d)1(121xxx222d)111(21xxxCxxln211ln2122通解为,11222xxCy将2)1(y代入得10C，所求特解为.1101222xxy8二、齐次微分方程)(ddxyfxy形如的微分方程称为齐次方程.2.解法,xyu作变量代换,xuy即代入原式得,ddddxuxuxy),(ddufxuxu1.定义分离变量得xxuufud)(d,两边积分即得通解.注意：须将u代回.9例6求方程xyxyxytan3dd的通解.解作变量代换xyu,代入原方程得uuxuxutan3dd,,xuy,ddddxuxuxy此题不能分离变量,是齐次方程,分离变量得xxuud3tand,积分得Cxulnln3)ln(sin,.sin3Cxxy即得原方程通解为10例7求方程0)()(yxyyx的通解.解原方程变形为xyxyxydd11xyxy,作变量代换xyu,代入原方程得11dduuxuxu,分离变量得xxuuudd112,,xuy,ddddxuxuxy是齐次方程,11积分得Cxuu||ln)1ln(21arctan2,或写成uCuxarctan12e1,再将xyu代入,得通解为分离变量得xxuuudd112,xyCyxarctan122e12例81)1(y的特解.解原方程变形为22ddxxyyxy作变量代换xyu,代入原方程得1dd2uuxuxu,求方程xyxyxyxydddd22满足初始条件1)/(2xyxy,即11dd2uuuuuxux,,xuy,ddddxuxuxy13积分得：Cxuu||ln||ln,或写成Cxuu||ln,再将xyu代入,得通解为Cyxy||ln；分离变量得xxuudd)11(,再由初始条件1)1(y,得1...