1.2 基与坐标、坐标变换.pptVIP免费

§1.2基与坐标、坐标变换一定义：设在数域F上线性空间V中有n个线性无关向量12,,,n,且在V中任何一个向量都可由12,,,n线性表出1122nnkkk则称12,,,n为V的一个基，12,,,Tnkkk为在基12,,,n下的坐标。这时V称为n维线性空间，并记dimVn。例1实数域R上的线性空间22R中的向量组01101111,,,11110110与向量组10111111,,,00001011都是22R的基。22R是4维线性空间。例2试证：线性空间210121[]nnniRxaaxaxaxak是n维的，并求210121nnaaxaxax在基211,(),,()nxaxaxa，下的坐标。证：先证[]nRx中元素211,,,,nxxx是线性无关的。设022112110nnkkxkxkx由于[]nRx中x是变量，所以欲使上式对于任何x都成立的充分必要条件是0110nkkk于是211,,,,nxxx线性无关。对于[]nRx中任何一个向量（多项式）210121[]nnnaaxaxaxRx均由211,,,,nxxx线性表出，211,,,,nxxx是[]nRx的基，由于[]nRx是n维的。不难验证：211,(),,()nxaxaxa，也是[]nRx的一组基。因为'''2(1)1()()()()()()2!()()(1)!nnfafxfafaxaxafaxan故坐标为''(1)'()()((),(),,,)2!(1)!nTfafafafan例3已知1021121312552212A试求A的核空间的两组基。解：A的核空间就是0Ax的解空间，所以0Ax的基础解系就是核空间的基。对A作初等行变换后得1021102131213012~21255000022120000A因此0Ax的解为1342342322xxxxxx34,xx为自由变量，不难知0Ax的基础解系可以取为'11'223321021022712013112TTTTaaaa（，，，）（，，，）或（，，，）（，，，）它们都可以作为A的核空间的基。例4在4R中，求向量(1,2,1,1)Ta在基1234(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)TTTTaaaa下的坐标。解：设(1,2,1,1)Ta在所给基1234,,,aaaa下的坐标为1234,,,kkkk，故11223344akakakaka即12(1,2,1,1)(1,1,1,1)(1,1,1,1)TTTkk34(1,1,1,1)(1,1,1,1)TTkk12341234,kkkkkkkk...